Matematik

Afbildning af planen ind i planen

14. juli kl. 02:29 af Capion1 - Niveau: A-niveau

    I et tidligere indlæg
      https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1968054
    vedr. samme opgave, var præmisserne ikke korrekte.
          Opgaven er:
Et retvinklet koordinatsystem, med begyndelsespunkt (0 , 0), parallelforskydes i x-aksens
positive retning, således at (166021 , 0) afbildes i (833979 , 0) , hvorefter systemet drejes
+ π/30 omkring punktet (833979 , 0) .
Jeg spørger igen til en afbildning med matrixopstilling.  

 


Brugbart svar (0)

Svar #1
14. juli kl. 09:04 af mathon

Enhver flytning med positiv determinant er enten en parallelforskydning (specielt den identiske afbildning) eller
en drejning.

Der kan derfor ikke udarbejdes en sammensat matrix.


Brugbart svar (0)

Svar #2
14. juli kl. 09:36 af mathon

men
                \small \begin{array}{lllll} f_a\textup{:}\quad \begin{pmatrix} p_1\\p_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos(v) & -\sin(v) \\ \sin(v)& \cos(v) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(v) & -\sin(v) \\ \sin(v)& \cos(v) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} p_1\\p_2 \end{pmatrix} \end{array}

så drejningen (med fixpunkt) kan udføres først efterfulgt af parallelforskydningen (uden fixpunkt med mindre
(p_1,p_2)=(0,0) så alle punkter er fixpunkter).


Brugbart svar (1)

Svar #3
14. juli kl. 09:44 af Eksperimentalfysikeren

Det kan faktisk lade sig gøre med en lille finte.

Normalt vil man skrive en lineær vektorafbildning som

 \begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix}

og en affin afbildning som

\begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{1}\\ b_{2} \end{pmatrix}

Disse to afbildninger kan imidlertid slås sammen til

\begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ p_{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &b_{1}\\ a_{21} & a_{22} &b_{2}\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\p_{x} \end{pmatrix}

hvor p=0 angiver vektor og p=1 angiver punkt.

Når man skal finde matricens elementer, ser man, hvor begyndelsespunktet afbildes til. De to b-værdier er koordinaterne til billedet af begyndelsespunktet. De to basisvektorer afbildes over i de to a-søjler.

Den afbildning, du søger kan opbygges af 4 afbildninger. Den første er parallelforskydningen. Dens A-matrix er enhedsmatricen og b-vektoren er (833973-166021,0)T. Drejningen ville være simpel, hvis den skete omkring begyndelsespunktet. Det gør den ikke, så derfor skal der endny en parallelforsykdning til for at få begyndelsespunktet over i drejningspunktet. Drejningen selv har den A-matrix, der så vidt jeg husker står i din anden tråd. b-vektoren er 0. Til sidst skal der korrigeres for den ekstra parallelforskydning. Det gøres med en A-matrix, der er enhedsmatricen og en b-vektor, der er minus den b-vektor, der blev benyttet i andet trin.

De fire matricer (3*3) opstilles, så den sidste transformation er længst til venstre og den første længst til højre. Produktet er den endelige transformationsmatrix.


Svar #4
14. juli kl. 22:39 af Capion1

Affin afbildning:

\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}\curvearrowright\begin{pmatrix} 833979-166021\sqrt{1-\sin ^{2}\frac{\pi }{30}}\\-166021\sin \frac{\pi }{30} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \cos \frac{\pi }{30} &-\sin \frac{\pi }{30} \\\sin \frac{\pi }{30} &\cos \frac{\pi }{30} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} .
Den endelige transformationsmatrix volder dog noget besvær, trods den ellers gode anvisning, # 3.


Skriv et svar til: Afbildning af planen ind i planen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.