Matematik

Fuldstændig analyse trejdegadsfunktion

18. november 2020 af Bennjamin554 - Niveau: B-niveau

Jeg vil gerne have en hjælpende hånd til at få denne funktion lyst. Jeg skal lave en fuldstændiganalyse af en trejdegradsfunktion: f(x) = 1/2*x^3 + 2*x^2 + 2*x af denne funktion

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. november 2020 af AMelev

$f(x)=\frac{1}{2}x^3+2x^2+2x$
1. Definitionsmængde Dm(f)
Er der nogle x,værdier, der ikke kan indsættes i forskriften, så f(x) kan beregnes? I givet fald skal de sorteres fra R.

2. Nulpunkter og fortegn
Sæt x uden for parentes og brug nulreglen til at bestemme nulpunkter
Bestem så fortegn for f i intervallerne opdelt af nulpunkterne

3. Monotoni
Bestem f '(x)
Bestem nulpunkter og fortegn for f '
"Oversæt" nulpunkter og fortegn for f ' til monotoni og lokale ekstrema for f (monotonilinje)

4. Asymptoter
Lodret: Grænseværdi for f(x), når x →"hul i Dm(f)". Hvis f(x) →±∞ for x →x₀, er linjen med ligningen x = x₀ lodret asymptote (ikke aktuelt her)
Vandret: Hvis f(x) →c for x →±∞, er linjen med ligningen y = c vandret asymptote (ikke aktuelt her)
Skrå: Hvis f(x) - (a·x + b)→0 for x →±∞, er linjen med ligningen y = a·x + b skrå asymptote (evt. aktuelt ved polynomiumsbrøker, men ikke her)

5. Støttepunkter
Som minimum beregnes lokale ekstrema

6. Grafskitse
Nulpunkter og punkter med lokale ekstrema samt evt flere beregnede støttepunkter afsættes. Desuden indtegnes evt. asymptoter (gerne med stiplede linjer)
Herefter kan en grafskitse tegnes og der tjekkes med fortegn og monotoni. Hvis det ikke stemmer, er der lavet en fejl undervejs.

7. Værdimængde
Bestemmes ud fra grafskitsen og grænseværdier

Det var lige det, jeg kunne komme i tanker om. I må have fået noget materiale om funktionsundersøgelser - tjek med det.

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. november 2020 af mathon

$\small \begin{array}{lllll}& f(x)=\frac{1}{2}x^3+2x^2+2x=\frac{1}{2}x\cdot \left ( x^2+4x+4 \right )^2=\frac{1}{2}x\cdot \left ( x+2 \right )^2\\\\ \textup{nulpunkter:}&x=\left\{\begin{matrix} -2\\0 \end{matrix}\right.\\\\\\& f{\, }'(x)=\frac{3}{2}x^2+4x+2\\ \textup{Ekstrema}\\ \textup{for:}&f{\, }'(x)=\frac{3}{2}x^2+4x+2=0\\\\& x=\left\{\begin{matrix} -2\\-\frac{2}{3} \end{matrix}\right.\\\\ \textup{Fortegnsva-}\\ \textup{ration for }f{\, }'(x)\\& \begin{array}{lllll} f{\, }'(x)>0&\textup{for}&x<-2&\Leftrightarrow&f(x)\textup{ er voksende}\\ f{\, }'(x)<0&\textup{for}&-2<x<-\frac{2}{3}&\Leftrightarrow&f(x)\textup{ er aftagende}\\ f{\, }'(x)>0&\textup{for}&x>-\frac{2}{3}&\Leftrightarrow&f(x)\textup{ er voksende}\\\\ f\left ( -2 \right )=0\textup{ er lokalt maksimum}\\\\ f\left ( -\frac{2}{3}\right )=-\frac{16}{27} \textup{ er lokalt minimum}\\\\ f{\, }''(x)=3x+4 \end{array}\\ \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. november 2020 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textup{Skr\aa \ vendetangent}\\ \textup{for }x=-\frac{4}{3}\\\\ \textup{Vendetangent:}&y=g\left ( -\frac{4}{3} \right )\cdot (x-\left ( -\frac{4}{3} \right ))+f\left ( -\frac{4}{3} \right )\\\\& y=-\frac{2}{3}x-\frac{32}{27} \end{array}$

Skriv et svar til: Fuldstændig analyse trejdegadsfunktion

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.