Matematik

unknown sum

21. december 2020 af janhaa - Niveau: Universitet/Videregående

find \, \,the \,faction/number:\\ \\\frac{\left(2^2+4^2+\ldots{2010}^2+{2012}^2\right)^2-\left(1^2+3^2+\ldots+{2009}^2+{2011}^2\right)^2}{3018\ast(1^2+2^2+3^2\ldots+{2011}^2+{2012}^2)}


Brugbart svar (1)

Svar #1
21. december 2020 af Capion1

Tæller, som let kan reduceres:

\left ( \sum_{n=1}^{1006}(2n)^{2} \right )^{2}-\left ( \sum_{n=1}^{1006}(2n-1)^{2} \right )^{2}    =   \left ( 4\sum_{n=1}^{1006}n^{2} \right )^{2}-\left ( 4\sum_{n=1}^{1006}n^{2}-4\sum_{n=1}^{1006}n+\sum_{n=1}^{1006}1 \right )^{2}


Nævner, som også kan reduceres:

1/6·3018·2012·2013·4025   


Brugbart svar (1)

Svar #2
21. december 2020 af Capion1

I sidste parentes indsættes for n = 1006:

4Σn2 = 2/3n(n + 1)(2n + 1)
4Σn  = 2n(n + 1)
Σ1 = 1006


Brugbart svar (1)

Svar #3
21. december 2020 af Capion1

Tælleren:
A2 - B2 = (A + B)(A - B)


Brugbart svar (1)

Svar #4
21. december 2020 af Capion1

Tælleren for n = 1006:
1/3(16n5 + 20n4 + 8n3 + n2)

Nævneren for n = 1006:
2n4 + 3021n3 + 3039127n2

For n = 1006 er brøken = 671
 


Brugbart svar (1)

Svar #5
21. december 2020 af Soeffi

#0. Summen af kvadratet af de lige tal fra 2 til n (n er lige):

\sum_{i=1}^{n/2}(2i)^2-\sum_{i=1}^{n/2}(2i-1)^2= \sum_{i=1}^{n/2}4i^2-\sum_{i=1}^{n/2}4i^2+\sum_{i=1}^{n/2}4i-\sum_{i=1}^{n/2}1=

4\sum_{i=1}^{n/2}i-\sum_{i=1}^{n/2}1=2\cdot (n/2)(1+n/2)-n/2=\tfrac{1}{2}\cdot n\cdot (n+1)

Summen af kvadratet af tallene fra 1 til n er 

\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Dermed fås:

\frac{2^2+4^2+...+(n-2)^2+n^2-(1^2+3^2+...+(n-3)^2+(n-1)^2)}{1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2}=

\frac{6\cdot \tfrac{1}{2}\cdot n\cdot (n+1)}{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}=\frac{3\cdot n\cdot (n+1)}{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}=\frac{3}{2n+1}


Brugbart svar (0)

Svar #6
22. december 2020 af Soeffi

#5...Kvadratsum af de lige tal minus kvadratsum af ulige tal fra 1 til n (n er lige)...

Skriv et svar til: unknown sum

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.