Matematik

arealet af en mangekant, måske ved hjælp af determinanter

25. september kl. 22:47 af StoreNord - Niveau: A-niveau

Mathon viste engang hvordan man kan beregne arealet af en mangekant, måske ved hjælp af determinanter.
En opgave går ud på, at man får opgivet alle hjørnepunkterne, og så skal man ved hjælp af en formel beregne arealet af mangekanten.
Er der andre end Mathon, der kan hjælpe med dette problem?


Brugbart svar (0)

Svar #1
25. september kl. 23:04 af mathon

Der er formentlig tale om en regulær polygon.


Brugbart svar (0)

Svar #2
25. september kl. 23:53 af SuneChr

# 0
For en konveks, ikke nødvendigvis regulær, polygon, hvor man kender alle hjørners koordinat, kan man vælge et vilkårligt hjørne og trække de mulige diagonaler til de øvrige hjørner.
Det vil resultere i et antal trekanter udspændt af vektorer, hvor arealberegningen kan foretages med en sum af determinanter.


Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september kl. 00:04 af Eksperimentalfysikeren

Selv hvis polygonen ikke er konveks, kan den opdeles i trekanter.


Svar #4
26. september kl. 00:15 af StoreNord

Det er denne her
 


Svar #5
26. september kl. 00:16 af StoreNord

Det er denne her


Brugbart svar (0)

Svar #6
26. september kl. 00:30 af SuneChr

1/2|BC^•BA| + 1/2|DA^•DC|      
Indmaden indenfor numerisktegnet er lig med henh.vis    det(BC,BA) og det(DA,DC)


Brugbart svar (0)

Svar #7
26. september kl. 08:55 af mathon

\small \small \begin{array}{llllll} \textup{Punkterne nummereres i positiv omdrejningsretning (venstre om)}\\ \textup{med valgfrit begyndelsespunkt f. eks. med A som nummer 1.}\\\\ A=\frac{1}{2}\cdot \left [ x_1\cdot \left ( y_2-y_4 \right ) +x_2\cdot \left ( y_3-y_1 \right )+x_3\cdot \left ( y_4-y_2 \right )+x_4\cdot \left ( y_1-y_3 \right )\right ]\\\\ A=\frac{1}{2}\cdot \left [ 1\cdot \left ( 3-(-4) \right ) +(-2)\cdot \left ( -2-2 \right )+(-3)\cdot \left ( -1-3 \right )+4\cdot \left ( 2-(-2) \right )\right ]=\\\\ \qquad \frac{1}{2}\cdot \left [ 7+8+12+16 \right ]=\frac{1}{2}\cdot 43=21.5 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #8
26. september kl. 10:46 af mathon

korrektion:
                  \small \begin{array}{lllll} \frac{1}{2}\cdot \left [ 1\cdot (3-(-1))+(-2) \cdot \left ( -2-2 \right )+(-3)\cdot \left ( -1-3 \right )+4\cdot \left ( 2-(-2) \right )\right ]= \\\\\qquad \frac{1}{2}\cdot \left [ 4+8+12+16 \right ]=2+4+6+8=20 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #9
26. september kl. 10:56 af mathon

        \small \begin{array}{llllll} A=\frac{1}{2}\cdot \left | \textup{det}\left ( \begin{bmatrix} -2-1 &-3-1 \\ 3-2& -2-2 \end{bmatrix} \right ) \right |+\frac{1}{2}\cdot \left | \textup{det}\left ( \begin{bmatrix} -3-1 &4-1 \\ -2-2 & -1-2 \end{bmatrix} \right ) \right |=20 \end{array}


Brugbart svar (0)

Svar #10
26. september kl. 17:50 af ringstedLC

Med koordinater som i #5 og vektorer som i #9:


Svar #11
01. oktober kl. 23:00 af StoreNord

Kære venner

Tak for hjælp til selvhjælp.
Hvad jeg havde tænkt mig, var dette:

Areal  =  ½·det(u,v) + ½·det(v,w)=

\\\frac{1}{2}\begin{Vmatrix} 7 &4 \\ 1 &4 \end{Vmatrix}+\frac{1}{2} \begin{Vmatrix} 4 &1 \\ 4 &5 \end{Vmatrix}= \\\frac{1}{2}(7*4-1*4)+\frac{1}{2}(4*5-4*1)= \\\frac{1}{2}\cdot 24+\frac{1}{2}\cdot 16= \; 20


Svar #12
01. oktober kl. 23:01 af StoreNord

Her kommer tegningen:


Skriv et svar til: arealet af en mangekant, måske ved hjælp af determinanter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.