Matematik

arealet af en mangekant, måske ved hjælp af determinanter

25. september 2021 af StoreNord - Niveau: A-niveau

Mathon viste engang hvordan man kan beregne arealet af en mangekant, måske ved hjælp af determinanter.
En opgave går ud på, at man får opgivet alle hjørnepunkterne, og så skal man ved hjælp af en formel beregne arealet af mangekanten.
Er der andre end Mathon, der kan hjælpe med dette problem?

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. september 2021 af mathon

Der er formentlig tale om en regulær polygon.

Brugbart svar (0)

Svar #2
25. september 2021 af SuneChr

# 0
For en konveks, ikke nødvendigvis regulær, polygon, hvor man kender alle hjørners koordinat, kan man vælge et vilkårligt hjørne og trække de mulige diagonaler til de øvrige hjørner.
Det vil resultere i et antal trekanter udspændt af vektorer, hvor arealberegningen kan foretages med en sum af determinanter.

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september 2021 af Eksperimentalfysikeren

Selv hvis polygonen ikke er konveks, kan den opdeles i trekanter.

Svar #4
26. september 2021 af StoreNord

Det er denne her

Svar #5
26. september 2021 af StoreNord

Det er denne her

Vedhæftet fil:Skærmbillede fra 2021-09-26 00-15-07.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
26. september 2021 af SuneChr

¹/₂|BC^•BA| + ¹/₂|DA^•DC|
Indmaden indenfor numerisktegnet er lig med henh.vis det(BC,BA) og det(DA,DC)

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. september 2021 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll} \textup{Punkterne nummereres i positiv omdrejningsretning (venstre om)}\\ \textup{med valgfrit begyndelsespunkt f. eks. med A som nummer 1.}\\\\ A=\frac{1}{2}\cdot \left [ x_1\cdot \left ( y_2-y_4 \right ) +x_2\cdot \left ( y_3-y_1 \right )+x_3\cdot \left ( y_4-y_2 \right )+x_4\cdot \left ( y_1-y_3 \right )\right ]\\\\ A=\frac{1}{2}\cdot \left [ 1\cdot \left ( 3-(-4) \right ) +(-2)\cdot \left ( -2-2 \right )+(-3)\cdot \left ( -1-3 \right )+4\cdot \left ( 2-(-2) \right )\right ]=\\\\ \qquad \frac{1}{2}\cdot \left [ 7+8+12+16 \right ]=\frac{1}{2}\cdot 43=21.5 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. september 2021 af mathon

korrektion:
$\small \begin{array}{lllll} \frac{1}{2}\cdot \left [ 1\cdot (3-(-1))+(-2) \cdot \left ( -2-2 \right )+(-3)\cdot \left ( -1-3 \right )+4\cdot \left ( 2-(-2) \right )\right ]= \\\\\qquad \frac{1}{2}\cdot \left [ 4+8+12+16 \right ]=2+4+6+8=20 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #9
26. september 2021 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} A=\frac{1}{2}\cdot \left | \textup{det}\left ( \begin{bmatrix} -2-1 &-3-1 \\ 3-2& -2-2 \end{bmatrix} \right ) \right |+\frac{1}{2}\cdot \left | \textup{det}\left ( \begin{bmatrix} -3-1 &4-1 \\ -2-2 & -1-2 \end{bmatrix} \right ) \right |=20 \end{array}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. september 2021 af ringstedLC

Med koordinater som i #5 og vektorer som i #9:

Vedhæftet fil:_Areal af en mangekant_2023576_StoreNord.png

Svar #11
01. oktober 2021 af StoreNord

Kære venner

Tak for hjælp til selvhjælp.
Hvad jeg havde tænkt mig, var dette:

Areal = ½·det(u,v) + ½·det(v,w)=

$\\\frac{1}{2}\begin{Vmatrix} 7 &4 \\ 1 &4 \end{Vmatrix}+\frac{1}{2} \begin{Vmatrix} 4 &1 \\ 4 &5 \end{Vmatrix}= \\\frac{1}{2}(7*4-1*4)+\frac{1}{2}(4*5-4*1)= \\\frac{1}{2}\cdot 24+\frac{1}{2}\cdot 16= \; 20$

Svar #12
01. oktober 2021 af StoreNord

Her kommer tegningen:

Vedhæftet fil:Skærmbillede fra 2021-10-01 23-01-22.png

Skriv et svar til: arealet af en mangekant, måske ved hjælp af determinanter

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.