Lige nu 90 online.

Persondatapolitik

Matematik

Forsikringsmatematik - kollektive risiko model (poisson)

11. juni 2022 af louisesørensen2 - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP,

jeg har følgende spørgsmål:

Antag at ydelsen, Y, er givet ved:

$Y=\sum_{k=1}^N X_k$

hvor $X_1, X_2, ..., X_k$ er i.i.d. og at antallet af skader, N, og $X_k$ er uafhængige.

Antag ydermere at $N\sim Poisson(\lambda)$

a) Vis at

$Var(Y)=\lambda \mathbb{E}[X_1^2]$ .

Min besvarelse lyder som følgende:

Jeg bruger Eve's lov:

$Var(Y)=E(Var(Y|X))+Var(E(Y|X))$

Først kigger jeg på $Var(E(Y|X))$ -leddet:

$E[Y|N=n]=E[\sum_{k=1}^N X_k|N=n]=E[\sum_{k=1}^n X_k |N=n]$

Grundet udafhængighed mellem N og X_k kan man

$=E[\sum_{k=1}^n X_k]=\sum_{k=1}^n E[X_1]=n\cdot E[X_1]$

Ovenover bruger jeg at $X_1, X_2,...,X_k$ er i.i.d.

Nu kan jeg fremkalde det stokastiske antal af skader igen, N:

$N\cdot E[X_1]$

hvor jeg nu vil:

$Var(N\cdot E[X_1])=Var(N)\cdot E[X_1^2]$

Bemærk at $E[X_1]$ er deterministisk, derfor opfører den sig som en konstant og grundet linaritet for varians skal denne kvadreres når den sættes udenfor argumenetet.

Afslutningsvis påmindes der at $N \sim Poisson(\lambda)$ , da vides det at variansen af en poisson fordeling er $\lambda$ , derfor konkluderes der at

$Var(Y)=\lambda E[X_1^2]$ .

Hvis dette er sandt, må det betyde at det første led er lig 0?

Kan nogle bekræfte disse beregninger?

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. juni 2022 af SådanDa

$\mathbb{E}[X_1]^2\neq\mathbb{E}[X_1^2]$ , du får altså:

$\textup{Var}(\mathbb{E}[Y|N=n])=\textup{Var}(N\cdot\mathbb{E}[X_1] )=\lambda\mathbb{E}[X_1]^2$ .

Ligeledes kan du finde:

$\mathbb{E}[\textup{Var}(Y|N=n)]=\mathbb{E}[N\cdot\textup{Var}(X_1)]=\lambda\textup{Var}(X_1)$ .

Da $\textup{Var}(X_1)=\mathbb{E}[X_1^2]-\mathbb{E}[X_1]^2$ har du:

$\mathbb{E}[\textup{Var}(Y|N=n)]+\textup{Var}(\mathbb{E}[Y|N=n]) =\lambda\textup{Var}(X_1)+\lambda\mathbb{E}[X_1]^2$

$=\lambda\(\mathbb{E}[X_1^2]-\mathbb{E}[X_1]^2+\mathbb{E}[X_1]^2)=\lambda\mathbb{E}[X_1^2]$

Skriv et svar til: Forsikringsmatematik - kollektive risiko model (poisson)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.

Seneste indlæg
9: Hjælp til at snakke tysk (0)
9: Hævn og tilgivelse religion (2)
A: Syre-base (0)
B: Måling af halveringstid (0)
B: Måling af halveringstid (0)

Populære indlæg
B: Måling af halveringstid - forsøg (16)
9: Hjælp til at snakke tysk (0)
9: Hævn og tilgivelse religion (2)
V: beregningsopgaver (3)
8: Dele 125000 i forholdet 20 : 30 (3)

Om Studieportalen.dk: Om Studieportalen.dk | Kontakt | Annoncering | Studiebladet | Ophavsret | Cookie- og persondatapolitik

Hjælp: Support | FAQ | Stopplagiat.nu

Se også: Studienet.dk | Studienett.no | Studienet.se