Matematik

Omkostninger

18. august 2022 af sara120 - Niveau: B-niveau

Hej, der er en opgave i matematik jeg ikke helt har forstået og jeg håber derfor i kan hjælpe.

Opgaven lyder sådan her:

Omkostningerne O(x) kr. ved produktion af x enheder af en vare er givet ved

O(x) = 8000 + 600x - x², 0 < x < 150.

De faste omkostninger er de omkostninger, der er uafhængige af antallet producerede enheder, mens resten kaldes variable omkostninger. Hvilken del af funktionsudtrykket beskriver de faste omkostninger? Hvilken del beskriver de variable omkostninger?

Bestem omkostningerne ved en produktion på 50 enheder og ved 51 enheder. Hvad er merudgiften ved at producere den 51. enhed?

Tak på forhånd :)

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. august 2022 af Dropout

Hvilken del beskriver de faste omkostninger?
Svaret vil være det i ligningen som ikke afhænger af antal enheder (x), derfor: 8000. (Dette kunne man forestille sig var udgifter til leje af lokale eller lign.)
Hvilken del beskriver de variale omkostninger?
Svaret vil her være alt det i ligningen som afhænger af "x", derfor: 600x-x² (Dette er så de udgifter, som virksomheden må afholde ved hvert enkelt enhed de producerer.

50 enheder løses ved at indsætte 50 på x's plads.
8000+600*50-50² = 8000+30000-2500 = 35500 kr
51 enheder løses på samme måde
8000+600*51-51²=35999 kr

Merudgiften findes ved at finde marginal cost. Marginal cost = ændring i pris/ændring i antal enheder.

35999-35500/51-50 = 499/1 = 499

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. august 2022 af ringstedLC

1.: O(x) er en del af en parabel:

$\begin{align*} y &= a\,x^2+b\,x+c \end{align*}$

hvor kun leddet c er uafhængigt af x (enheder af varen). De to andre led i ligningens højre side er afhængige af variablen x.

2.:

$\begin{align*} O(50)=...&\;,\;O(51)=... \\ \textup{Merudgift} &= O(51)-O(50)=...\end{align*}$

Bemærk: Parablens hældning er kun afhængig af ledene, der indeholder x. Hvis c ændres (fx en huslejestigning), så ændres den samlede omkostning, men ikke merudgiften ved 51. enhed.

Svar #3
18. august 2022 af sara120

Tusind tak for hjælpen, det var en meget stor hjælp. Der er dog flere spørgsmål til opgaven som jeg ikke forstod, hvilket er følgende:

Ved en forøgelse af produktionen fra x₀ til x₀ + h enheder bliver gennemsnitsomkostningen for hver ekstra produceret enhed

[\unit[\frac{O(x_0 + h) - O(x_0)}{h}]{ kr.}]

Bestem gennemsnitsomkostningen for hver ekstra produceret enhed, når produktionen øges fra 50 til 55 enheder.

Grænseomkostningerne ved en produktion på x0 enheder er bestem ved

[\lim_{h \to 0} \frac{O(x_0 + h)-O(x_0)}{h}.]

Bestem grænseomkostningerne, når x₀ = 50, og når x₀ = 55.

Det oplyses, at grænseomkostningen ved en produktion på 120 enheder er 360 kr. Hvad betyder det?

Det kunne være en stor hjælp hvis jeg også kunne få hjælp til denne opgave, tak på forhånd.

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. august 2022 af ringstedLC

#3:

$\begin{align*} \textup{Gnm.-snitsomk. pr.\,enhed} &= \frac{O(x_0+h)-O(x_0)}{h}\;\textup{kr.} \\ &= \frac{O\bigl(50+(55-50)\bigr)-O(50)}{55-50}\;\textup{kr.} \\ \end{align*}$

PS. Vedhæft et godt billede af opgaveteksten istedet for at bruge "copy-paste".

Brugbart svar (1)

Svar #5
18. august 2022 af Dropout

Jeg kan desværre ikke læse ligninger eller helt tyde, hvordan de skal se ud, men jeg ville svare på spørgsmålet vedrørende gennemsnitsomkostninger ved at differentiere, og så finde gennemsnittet.
f'(x) = 600-2x
f'(50) = 600-2*50 = 500
f'(51) = 600-2*51 = 498
f'(52) = 600-2*52 = 496
f'(53) = 600-2*53 = 494
f'(54) = 600-2*54 = 492
f'(55) = 600-2*55 = 490
gennemsnit = $\frac{500+498+496+494+492+490}{6} = \frac{2970}{6}=495$

Dette er virker dog som en særdeles mindre elegant måde at gribe det an.

Hvis du vælger at gøre brug af ringstedLCs metode burde du få

$\frac{39795-35000}{55-50}=\frac{4795}{5}=959$ , hvis ikke jeg har læst eller regnet det forkert.

Svar #6
18. august 2022 af sara120

Tak for hjælpen igen :)

Jeg har vedhæftet et sceenshot af spørgsmålene så man kan se ligningerne.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2022-08-18 kl. 23.52.43.png

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. august 2022 af ringstedLC

#5
Hvis du vælger at gøre brug af ringstedLCs metode burde du få

$\frac{39795-35000}{55-50}=\frac{4795}{5}=959$

, hvis ikke jeg har læst eller regnet det forkert.

$\begin{align*} \textup{Gnm.-snitsomk. pr.\,enhed} &= \frac{O(50+5)-O(50)}{5}\;\textup{kr.} \\ &= \frac{{\color{Red} 39975-35500}}{5}\;\textup{kr.}=495\;\textup{kr.} \end{align*}$

Skriv et svar til: Omkostninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.