Matematik

En cirkels middelsum og grænseværdi, Vejen til Matematik A2, Opgave 290, Side 214, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

26. juni 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Jeg vedhæftet en fil der kan man se opgave teksten og cirklen som omtales i opgaven.

Opgave 290

Tegningen viser en cirkel, der er blevet inddelt i et stort antal "trekanter".

a) Opstil en middelsum, der som grænseværdi har cirklens areal.

Mit forsøg på at løse spørgsmål a), bygger på den metode forfatterne anvender i et eksempel 4.2: Middelsum for y = x:, side 195.

Cirkelens areal:

A = π • r²

Jeg kan se at cirkelen er opdelt i n antal lige store del intervaller, hvor hver delinteval har bredden

Δx = 1 / n

Spørgsmålet er om Δx repræsentere et areal af hver trekant ?

Ved at benytte intervallernes højre endepunkter får jeg middelsummen (ved at bruge bogens eksempel)

S = f ( 1 / n) • Δx + f ( 2 / n) • Δx + .... + f ( n / n ) • Δx

Da Δx = 1 / n får jeg følgende

S = ( 1 / n ) • ( 1 / n ) + ( 2 / n ) • ( 1 / n ) + ... + ( n / n ) • ( 1 / n )

S = ( 1 / n² ) • ( 1 + 2 + 3 + ... + n )

Jeg har så forstået at summen i parantesen er en såkaldt differensrække som har summen:

S_n = 1 +2 + 3 + ... + n = n ( n + 1 ) / 2

S = ( 1 / n² ) • ( n ( n + 1 ) / 2) = 1 / 2 ( 1 + 1 / n )

Mit spørgsmål er, om det er den rigtige måde at opstille en middelsum, der som grænseværdi har cirkelens areal ?

b) Vis ved integration, at summens grænseværdi for Δx gående mod 0 er π • r²

Mit forsøg:

Jeg lader n gå mod uendelig, så vil Δx = 1 / n gå mod nul

Mit spørgsmål om hvad bliver grænseværdien for Δx ?.

r n

∫ ( π • r^2.) dx = [ π • ( 1 / 3 ) • r³ ] = π •( ( 1 / 3 ) • n³- ( ( 1 / 3 ) • 0³ )) = π( 1 / 3 ) • r³

0 0

Mit spørgsmål er, om mit forsøg på at løse opgave 290 a) og b) er korrekt og hvis den ikke er det, hvordan løser man sprøgsmål a) og b) korrekt.

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 290, Cirkel, Middelsum, Grænseværdi.png

Svar #1
26. juni 2023 af ca10

Jeg vil nævne at der ikke i facitlisten er noget facit på opgave 290.

Brugbart svar (1)

Svar #2
26. juni 2023 af M2023

#0. Cirklen inddeles i n ens cirkeludsnit, hvori er indskrevet en ligebenet trekant. Arealet af hver trekant er ¹/₂·r²·sin(2π/n). Summen af arealerne er n·¹/₂·r²·sin(2π/n). Det antages, at denne sum går mod cirklens areal for n gående mod uendelig. Vi skal vise, at summens grænseværdi er π·r². Man benytter, at sin(x) = (x - x³/(3!) + x⁵/(5!) -...) og får:

$\lim_{n\rightarrow \infty}n\cdot \frac{1}{2}\cdot r^2\cdot sin\left ( \frac{2\pi}{n} \right )=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty} n\cdot \left ( \frac{2\pi}{n}-\frac{(2\pi)^3}{n^3\cdot 3!}+\frac{(2\pi)^5}{n^5\cdot 5!}-... \right )=$

$\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty} \left ( 2\pi-\frac{(2\pi)^3}{n^2\cdot 3!}+\frac{(2\pi)^5}{n^4\cdot 5!}-... \right )=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot 2\pi=\pi\cdot r^2$

Svar #3
26. juni 2023 af ca10

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på.

Brugbart svar (1)

Svar #4
26. juni 2023 af M2023

#2. En anden metode. Man benytter, at

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin(x)}{x}=1$

og får:

$\lim_{n\rightarrow \infty}n\cdot \frac{1}{2}\cdot r^2\cdot sin\left ( \frac{2\pi}{n} \right )=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \lim_{n\rightarrow \infty} n\cdot sin\left ( \frac{2\pi}{n} \right )=$

(idet man sætter x = 2π/n):

$\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot \lim_{x\rightarrow 0} \frac{2\pi }{x}\cdot sin\left ( x \right )=\frac{1}{2}\cdot r^2\cdot 2\pi \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{sin\left ( x \right )}{x}=\pi \cdot r^2$

Svar #5
26. juni 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg er igang med prøve at forstå Svar #2 så jeg ser nærnere på det og jeg kommer tilbage senere.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
27. juni 2023 af Eksperimentalfysikeren

Der er ikke nogen tydelig angivelse af, hvad Δx er. Det kan være en vinkel. I så fald er Δx=2π/n. Den kan også være buelængden. I så fald er Δx=2π·r/n.

"Trekanterne" skal erstattes af ligebenede trekanter. Heri skal du opskrive længden af grundlinien og længden af højden, og så skrive arealet af trekanterne op.

Jeg kan ikke få arealformlen i #2 til at passe. Jeg mangler en faktor med cosinus.

Brugbart svar (1)

Svar #7
27. juni 2023 af SuneChr

Vi skal vise, at der til ethvert ε > 0 findes en indskreven regulær n-kant $P_{i}$ med arealet $A(P_{i})$
og en omskreven regulær n-kant $P_{y}$ med arealet $A(P_{y})$ til cirklen med radius r, således at

$A(P_{y})-A(P_{i})<\varepsilon$

Svar #8
27. juni 2023 af ca10

Tak for svaret

Har ringstedLC tid til at vise, hvordan man løser opgave 290.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #9
27. juni 2023 af M2023

#0. De ligebenede trekanter, der danner undersummen er tegnet med blåt på nedenstående tegning, og de der danner oversummen er tegnet med rødt. Topvinklen i trekanterne er θ.

De blå trekanter har hver arealet

$r^2\cdot sin\left ( \tfrac{\theta}{2} \right )\cdot cos\left ( \tfrac{\theta}{2} \right )$

og de røde har hver arealet

$r^2\cdot \frac{sin\left ( \frac{\theta}{2} \right )}{cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Arealet af cirkeludsnittet kaldes A. Man sætter θ = 2π/n. Dette giver

$\lim_{n\rightarrow \infty}n\cdot r^2\cdot sin\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )\cdot cos\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )\leq A\leq \lim_{n\rightarrow \infty}n\cdot r^2\cdot \frac{sin\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )}{cos\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )}$

Man sætter x = π/n og får:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{x}\cdot r^2\cdot sin\left ( x \right )\cdot cos\left ( x \right )\leq A\leq \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{x}\cdot r^2\cdot \frac{sin\left ( x \right )}{cos\left ( x \right )}\Leftrightarrow$

$\pi\cdot r^2\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\left ( x \right )}{x}\cdot cos\left ( x \right )\leq A\leq \pi\cdot r^2\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\left ( x \right )}{x}\cdot \frac{1}{cos\left ( x \right )}\Leftrightarrow$

$\pi\cdot r^2\cdot \leq A\leq \pi\cdot r^2\Leftrightarrow A=\pi\cdot r^2$

Vedhæftet fil:trekanter.png

Svar #10
27. juni 2023 af ca10

Til Svar #9, M2023

Jeg er godt klar over at man ikke laver matematikundervisning på studieportalen men kan du ikke vise nærmere, hvordan du kommer frem til dit svar, for jeg kan ikke gennemskue dine beregninger.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #11
27. juni 2023 af M2023

#9
#0. De ligebenede trekanter, der danner undersummen er tegnet med blåt på nedenstående tegning, og de der danner oversummen er tegnet med rødt. Topvinklen i trekanterne er θ. Den blå trekant har siden r og den røde har højden r.

De blå trekanter har hver arealet 1/2 grundlinje gange højde. 1/2 grundlinje = r·sin(θ/2) og højde = r·cos(θ/2). Arealet er dermed:

$r^2\cdot sin\left ( \tfrac{\theta}{2} \right )\cdot cos\left ( \tfrac{\theta}{2} \right )$

De røde har ligeledes hver arealet 1/2 grundlinje gange højde. 1/2 grundlinje = r·tan(θ/2) og højde = r. Tan (θ/2) = sin(θ/2)/cos(θ/2). Arealet er dermed:

$r^2\cdot \frac{sin\left ( \frac{\theta}{2} \right )}{cos\left ( \frac{\theta}{2} \right )}$

Arealet af cirkeludsnittet kaldes A. Man inddeler cirklen i n lige store cirkeludsnit og sætter θ = 2π/n.

De n blå trekanter, som danner en undersum til cirkelens areal, har det samlede areal

$n\cdot r^2\cdot sin\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )\cdot cos\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )$

De n røde trekanter, som danner en oversum til cirkelens areal, har det samlede areal

$n\cdot r^2\cdot \frac{sin\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )}{cos\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )}$

Man skal nu undersøge, hvad der sker med disse summer, når n går mod uendelig. Man får:

$\lim_{n\rightarrow \infty}n\cdot r^2\cdot sin\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )\cdot cos\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )\leq A\leq \lim_{n\rightarrow \infty}n\cdot r^2\cdot \frac{sin\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )}{cos\left ( \tfrac{\pi}{n} \right )}$

Man sætter x = π/n og får:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{x}\cdot r^2\cdot sin\left ( x \right )\cdot cos\left ( x \right )\leq A\leq \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\pi}{x}\cdot r^2\cdot \frac{sin\left ( x \right )}{cos\left ( x \right )}\Leftrightarrow$

$\pi\cdot r^2\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\left ( x \right )}{x}\cdot cos\left ( x \right )\leq A\leq \pi\cdot r^2\cdot \lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\left ( x \right )}{x}\cdot \frac{1}{cos\left ( x \right )}\Leftrightarrow$

...man benytter at

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sin\left ( x \right )}{x}=1\;og\;\lim_{x\rightarrow 0}cos(x)=1$

og får:...

$\pi\cdot r^2\cdot \leq A\leq \pi\cdot r^2\Leftrightarrow A=\pi\cdot r^2$

Svar #12
28. juni 2023 af ca10

Svar #9

Tak for svaret

Skriv et svar til: En cirkels middelsum og grænseværdi, Vejen til Matematik A2, Opgave 290, Side 214, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.