Matematik

Bestem længden af grafen, Vejen til matematik A2, Opgave 291,Side215 ,(Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

08. august 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 291. Uden hjælpemidler

a) Bestem længden af grafen for f (x) = ( 2 / 3 ) • x^{3 / 2}

i intervallet [ 0, 3 ]

Jeg forstår opgaven således at det er kurvelængden der skal bestemmes.

På side 204 Står sætning 5.8: Kurvelængde

grafen for en differentiabel funktion f har i et interval [ a,b ] har kurvelængden:

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' (x ) ² dx

Funktionen: f (x) = ( 2 / 3 ) • x^{3 / 2} ,

f '(x) = ( ( 2 / 3 ) • x^{3 / 2} )² )' = ( 2 / 3 ) • ( 3 / 2 ) • x ^{3 / 2 - 1} = x ^{1 / 2} som indsættes:

b 3 3

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' (x ) ² dx = ∫ √ ( 1 + ( x ^{1/ 2})² dx = ∫ ∫ √( 1 + x ) dx =

a 0 0

Mit spørgsmål er om jeg har forstået opgaven rigtigt og om hvordan man bestemmer længden af grafen for funktionen f ( x )

På forhånd tak

b 3 3

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' (x )² dx = ∫ √ ( 1 + ( x ^{5 / 2} )² dx = ∫ √( 1 + x⁵) dx =

a 0 0

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 291.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. august 2023 af peter lind

Du bruger dit cash værktøj til at udregne integralerne i både a og b.

i b har du differentieret forkert

Svar #2
08. august 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg forstår ikke hvad du mener med at i b har jeg differentieret forkert.

Jeg har gjort følgende i opgave 291 a:

f ( x ) = x^a , f ' ( x ) = (x^a) ' = a • x ^{a -1}

Funktionen: f (x) = ( 2 / 3 ) • x^{3 / 2}

Funktionen: f ' (x) = (( 2 / 3 ) • x^{3 / 2}) '

= ( 2 / 3 ) • ( 3 / 2 ) • x ^{( 3 / 2 ) -1}

= ( 2 / 3 ) • ( 3 / 2 ) • x ( 3 - 2)/ 2 )

= ( 2 / 3 ) • ( 3 / 2 ) • x ^{1/ 2}

= x ¹^{/ 2}

Opgaven skal laves uden hjælpemidler

Hvad mener du med cash værktøj ?

Jeg har TI - 89 Titanium til rådighed.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. august 2023 af peter lind

i b får du f'(x) = x^5/2 Du forveksler det med opgave a.

I integrationen brug substituton. u = 1 +x du = dx

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. august 2023 af M2023

#0. Jeg indsætter et beskåret billede af opgaven.

Vedhæftet fil:2074956.png

Brugbart svar (1)

Svar #5
08. august 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll} \textbf{a)}\\&& f(x)=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\\\\&& f{\, }'(x)=\frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\\\\&\textup{Grafl\ae ngde:}\\&& l=\int_{0}^{3}\sqrt{1+\left ( \sqrt{x} \right )^2}\mathrm{d}x=\\\\&& \int_{0}^{3}\sqrt{1+x}\;\mathrm{d}x=\int_{0}^{3}\sqrt{1+x}\;\mathrm{d}(x+1)=\\\\&&\frac{2}{3}\cdot \left [\left ( 1+x \right )^{\frac{3}{2}} \right ]_0^3=\\\\&& \frac{2}{3}\cdot\left (4^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}} \right )=\\\\&& \frac{2}{3}\cdot\left ( 8-1 \right )=\frac{14}{3} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #6
08. august 2023 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllllll} \textbf{b)}\\&& f(x)=\frac{1}{3}\cdot x\cdot \sqrt{x}=\frac{1}{3 }\cdot x^{\frac{2}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3 }\cdot x^{\frac{3}{2}}\\\\&& f{\, }'(x)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2}}=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{x}\\\\&\textup{Grafl\ae ngde:}\\&& l=\int_{0}^{3}\sqrt{1+\frac{1}{4}x}\;\mathrm{d}x=\\\\&&4\cdot \int_{1}^{\frac{7}{4}}\sqrt{u}\;\mathrm{d}u=4\cdot \left [ \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \right ]_1^\frac{7}{4}\\\\&&4\cdot \frac{2}{3} \left [u^{\frac{3}{2}} \right ]_1^{\frac{7}{4}}=\\\\&&\frac{8}{3}\cdot \left ( \left ( \frac{7}{4} \right )^\frac{3}{2}-1\right )=\frac{7\sqrt{7}-8}{3} \end{array}$

Brugbart svar (1)

Svar #7
09. august 2023 af mathon

$\small \small \small \begin{array}{llllll} \textup{i \textbf{b)} er benyttet}\\ \textup{substitutionen}\\&&u=1+\frac{1}{4}x \\\\\textup{og dermed}\\&& \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {\color{Red} 4\mathrm{d}u=\mathrm{d}x}\\ \textup{og}\\&& \int_{{\color{Blue} 0}}^{{\color{Blue} 3}}...\mathrm{d}x=4\cdot \int_{{\color{Blue} 1}}^{{\color{Blue} \frac{7}{4}}}...\mathrm{d}u \end{array}$

Svar #8
09. august 2023 af ca10

Tak for svaret

Svar #9
09. august 2023 af ca10

Til Svar 5, 6 og 7

Tak for svarene

Svar #10
09. august 2023 af ca10

Til svar # 6

mathon

l = ∫ √ ( 1 + (√ (x )² dx

det tredje ligheddstegn her kan jeg ikke gennemskue omregningen.

3 3

l = ∫ √ ( 1 + x) dx = ∫ √ ( 1 + x ) d ( x + 1 )

0 0

i det fjerde lighedstegn bliver stamfunktionen:

2 3

= ---- [ ( 1 + x ^{(3 / 2 )} ] mit spørgsmål er, hvordan bliver √ ( 1 + x ) d ( x + 1 ) til 1 + x ^{(3 / 2 )}

3 0

for hvad bliver 1 + x sat til ?

Opgave b ser jeg nærmere på

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #11
09. august 2023 af M2023

#10. Prøv evt. substitutionen:

$u=1+x,\;du=dx,\; u_1=1+x_1=1\;og \; u_2=1+x_2=4.$

Det giver:...

$\int_{0}^{3}\sqrt{1+x}\;dx=\int_{0}^{3}(1+x)^{1/2}\;dx=\int_{1}^{4}u^{1/2}\;du=\tfrac{2}{3}\cdot \left [ u^{3/2} \right ]_1^4=$

$\tfrac{2}{3}\cdot \left ( 4^{3/2}-1^{3/2}\right )=\tfrac{2}{3}\cdot \left (8 -1\right )=\tfrac{14}{3}$

Svar #12
10. august 2023 af ca10

Til Svar #5 , mathon

I Vejen Til Matamatik A2 side 184 og 185, er der vist to metoder til bestemt integral ved substition

Jeg har prøvet at se på de to forskellige metoder

I dit svar # 6 til løsning af opgave b) u som substition. Hvis jeg har forstået rigtigt anvender din løsning af opgave a) u = 1 + x.

METODE 1:

Man udregner først det ubestemtte integral og indsætter derefter grænserne:

√ (1 + √(x)² ) = ( 1 + x)^1/2 og sætter u = 1 +x

Substiturer: u = 1 + x

Differentierer u: du / dx = 1

Isolerere dx: du = 1 • dx ⇔ du = dx

Indsætter u og du i det oprindelige integral

3 3 1 (1/2) + 1 3 2 3 2 3

l = ∫ (√ (1 + x) dx = ∫ u^1/2 du = ------ [ u ] = -------- [ u^{( 3/2)} ] = ---- [ 1 + x ] =

0 0 1 0 3 0 3 0

---- + 1

2 2 2 • 7 14

= ----- ( 4^3/2 - 1^3/2) = ---- ( 8 - 1) = ---------- = ---------

3 3 3 3

jeg kan til dels forstå din løsning,

3 3

∫ (√ (1 + x) dx = ∫ √ (1 + x) d( x + 1)

0 0

Men mit spørgsmål er hvordan kommer du frem til udtrykket d ( x + 1) ?

Til svar 11 M2023

Du anvender både

METODE 1:Man udregner først det ubestemtte integral og indsætter derefter grænserne og

METODE 2: Man substituere både i integranten og i grænserne.

u = 1 +x, du = dx , u₁ = 1 + x₁ = 1 , og u₂ = 1 + x₂ = 4

METODE 1 METODE 2

3 3 4 2 4

∫ √( 1 +x ) dx = ∫ ( 1 + x ) ^1/2 dx = ∫ u^1/2 du = ----- • [ u^3/2 ]

0 0 1 3 1

Mit spørgsmål er det ikke lidt betænkeligt at i din løsning i det andet lighedstegn sætter du lighedstegn mellem to forskellige metoder, selvom de giver samme resultat. Bør man ikke adskillige de to metoder fra hinanden ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #13
10. august 2023 af M2023

#11. Jeg tror, at du misforstår noget.

Angående #10. Prøv i stedet:...

$\int_{0}^{3}\sqrt{1+x}\;dx=\int_{1}^{4}\sqrt{u}\;du=\tfrac{2}{3}\cdot \left [ u^{3/2} \right ]_1^4=\tfrac{2}{3}\cdot \left ( 4^{3/2}-1^{3/2}\right )=\tfrac{14}{3}$

...forstår du det bedre?

Angående #5. Det, som gøres her, er ikke en anden metode, men sådan set at lave en substitution tilbage til x:

$\int_{0}^{3}\sqrt{1+x}\;dx=\int_{1}^{4}\sqrt{u}\;du=\tfrac{2}{3}\cdot \left [ u^{3/2} \right ]_1^4=\tfrac{2}{3}\cdot \left [ (1+x)^{3/2} \right ]_0^3=\tfrac{14}{3}$

Brugbart svar (1)

Svar #14
11. august 2023 af mathon

Når substitutionen er af typen

   $\small u=x+k$
hvor

   $\small \mathrm{d}u=\mathrm{d}x$

kan integrationen
gennemføres
som:
$\small \int_{a}^{b}f(x+k)\;\tfrac{}{}\mathrm{d}x=\int_{a}^{b}f(x+k)\;\mathrm{d}\left (x+k \right )$ $\small \left (=\int_{a+k}^{b+k}f(u)\;\mathrm{d}u \right )$

Svar #15
11. august 2023 af ca10

Tak for svaret

Nu kan jeg se det.

Skriv et svar til: Bestem længden af grafen, Vejen til matematik A2, Opgave 291,Side215 ,(Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.