Matematik
Taylorpolynomiet med flere variable
Hej folk.
Jeg sidder med en opgave om implicit differentiation og i sidste opgave bliver jeg bedt om at bestemme taylorpolynomiet P2 af anden orden for funktionen y=y(x) ud fra punktet X0=1.
ligningen er x + y2 - xy + e2y - 2 = 0
Tidligere har jeg differentieret y'(x) og y''(x) og fundet ud af hvilken værdi hhv. y' og y'' har, når man indsætter x0 og y0 (1,0) og ligningen = 0
Jeg ved at taylorformlen ser således ud:
Pn(x)=f (a) + f ' (a) / 1 * (x-a) + f ' ' (a ) / 2 ! * (x-a)^2 ... osv.
Mit problem er at jeg grundlæggende ikke kan se hvordan jeg skal skrive det ind, når det netop er en ligning med flere variable.
Jeg har jo 3 funktioner med hhv. x, y, y ' og y ' '. Skal jeg lade y ' og y ' ' være og indsætte punktet (1,0) i stedet for x og y eller hvordan skal det skrives?
Jeg håber nogen forstår hvad jeg mener, har nemlig lidt svært ved at forklare mit problem :) Men helt stuck det er jeg i hvertfald!
Svar #1
03. november 2011 af dikkelmikkel (Slettet)
For 2. orden har du at P2 (x,y) = f(x0,y0)+df/dx*(x-x0)+df/dy*(y-y0) + 1/2 d^2f/dx^2 *(x-x0)^2+1/2 * df/dx(df/dy)*(x-x0)*(y-y0)+ 1/2*d^2f/dy^2 ( y-y0)^2
Edit:
Måske kan du bruge HesseMatricen, eller måske er jeg ikke sikker på dit spørgsmål.
Med hessematricen bliver det:
P(x,y) = f(x0,y0) + ∇f(x0,y0) *(x-x0,y-y0) + 1/2*[x-x0 y-y0] *Hf(x0,y0) * [x-x0 ; y-y0]
Hvor den sidste faktor [x-x0 ; y-y0] er en søjlevektor og Hf er hessematricen, lyder den bekendt?
Svar #2
03. november 2011 af Andersen11 (Slettet)
Funktionen y(x) er givet implicit ved funktionalligningen
x + y2 -xy +e2y +2 = 0
Man skal benytte denne ligning til at beregne y(1), y'(1), og y''(1) .
Som du selv anfører, er y(1) = 0 .
Ved differentiation af funktionalligningen finder man
1 + 2y·y' -y -xy' +2y'·e2y = 0 , hvoraf ses
(2y -x +2e2y)·y' = y -1
og ved differentiation endnu en gang fås
(2y -x +2e2y)·y'' = y' - (2y' -1 +4y'·e2y)·y'
Vi kan altså sucessivt arbejde os ned gennem ligningerne og beregne
y'(1) = -1 , og
y''(-1) = -8
Taylorpolynomiet P2(x) ud fra x0 = 1 kan da opstilles
P2(x) = y(1) + y'(1)·(x-1) + (y''(1)/2!)·(x-1)2
= -(x-1) -4(x-1)2
Skriv et svar til: Taylorpolynomiet med flere variable
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.