3 medium opgaver.

Der blev vedlagt 2 opgaver, Opg 4 og Opg 5.

Opg 4. Den indre trekant er ligesidet, og vinklerne i denne trekant er alle 60º. Betragt nu de to små ligebenede trekanter. Kald topvinklen i en af disse trekanter for α og de to lige store vinkler ved grundlinien for β. Den ydre figure er en rhombe, og derfor også et parallelogram. Vinklen i rhomben nederst til højre er da

α + 60º + α ,

og da figuren netop er et parallelogram, er vinklen ved ? da også lig med α + 60º + α . Da trekanten i det øverste venstre hjørne er ligebenet, er hver af de to vinkler ved dens grundlinie da (180º - (α + 60º + α))/2 = 60º - α .

Ser vi på supplementvinklerne ved trekantens to andre vinkelspidser, har vi da

β + 60º + 60º - α = 180º , og af vinkelsummen i en af de små trekanter har vi

α + 2β = 180º . Altså

β - α = 60º
α + 2β = 180º,

hvoraf

3β = 240º , og dermed β = 80º, og α = 20º . Vinklen ved ? er da ? = 100º

---------------------------------------------------------

Opg 5. I opgaven med cirklerne nedfælder vi den vinkelrette fra den store cirkels centrum C til den nederste vandrette parallel og kalder den vinkelrettes skæringspunkt med parallellen for R. Endvidere kalder vi centrum i den lille cirkel til højre for D. Vi har da

|CR|² + |RQ|² = |CQ|² , dvs.

3² + |RQ|² = |CQ|² .

Endvidere har vi

sin(RQC) = |CR| / |CQ| = 3 / |CQ| .

Benytter vi cosinusrelationen i trekant CDQ, har vi

|CD|² = |CQ|² + |DQ|² -2·|CQ|·|DQ|·cos(CQD)

Da vinkel CQD og vinkel RQC er komplementærvinkler, er cos(CQD) = sin(RQC), og endvidere er |CD| = 4, og |DQ| = 1, så vi får

4² = |CQ|² + 1² - 2·1·|CQ|·3/|CQ| , eller

4² = |CQ|² + 1 - 6 , og dermed

|CQ|² = 21 .

Den søgte afstand |PQ| er da

|PQ| = 2·|CQ| = 2·√21

Nu har jeg kigget på den her  i et par dage, og forstår stadig ikke helt, Hvordan får du pludselig: sin(RQC) = |CR| / |CQ| = 3 / |CQ|
Det forstår jeg slet ikke :-)

#2

Trekanten CRQ er retvinklet med CQ som hypotenusen. Vinklen RQC er vinklen med toppunkt i Q og med QR og QC som dens ben. Det burde da være klart, at

sin(RQC) = |CR| / |CQ| , (modstående / hypotenusen)

og da CR er radius i den store cirkel, er |CR| = 3 .

Okay super, trekant RQC hvordan skal den se ud? er det en linje fra C til D og D til Q og Q til C? 
 

Mange tak :)

#4

Læs dog forklaringen i #1 og tegn med. Punkterne er forklaret og defineret der.

Trekant RQC er trekanten dannet af punkterne R, Q og C som vinkelspidser.