Tre ligninger med tre ubekendte

Ja, det er et lineært ligningssystem, så det kan da løses i hånden.

Er der en "nemmere" fremgangsmåde end en anden? Hvad ville du gøre?

Du kan jo starte med at indsætte μ₁ = μ₃ og så eliminere δ₃ , så det er reduceret til et ligningssystem i δ₁ og δ₂ .

0 = [4μ₁ + 4μ₂]δ₁ + 2μ₂δ₂ + 6μ₁δ₃/H

0 = 2μ₂δ₁ + [4μ₂ + 4μ₁]δ₂ + 6μ₁δ₃/H

0 = - FH - 6μ₁δ₁  - 6μ₁δ₂ + 24μ₁δ₃/H

I - II :     (4μ₁ + 2μ₂)δ₁ - (4μ₁ + 2μ₂)δ₂ = 0

4·I - III: (22μ₁ + 16μ₂)δ₁ + (6μ₁ + 8μ₂)δ₂ = -FH

Hvis 2μ₁ + μ₂ ≠ 0 , ser man så, at δ₁ = δ₂ , og dermed

(28μ₁ + 24μ₂)δ₁ = -FH

Så skulle du kunne løse resten selv.

#5

Tak for det, men jeg har lavet en mindre fortegnsfejl. Den må jeg lige finde først.

#5

Har fundet fortegnsfejlen. I følge lommeregneren får jeg også det rigtige resultat nu.

Ligningssystemet ser følgende:

0 = [4μ₁ + 4μ₂]δ₁ + 2μ₂δ₂ - 6μ₁δ₃/H

0 = 2μ₂δ₁ + [4μ₂ + 4μ₁]δ₂ - 6μ₁δ₃/H

0 = - FH - 6μ₁δ₁  - 6μ₁δ₂ + 24μ₁δ₃/H

Er fremgangsmåden stadig det samme som i #5?

#7

Ja, det er samme fremgangsmåde.

#8

Hvordan kan du se forholdet i linje 3 i #5?

#9

Træk Ligning II fra Ligning I i #7:

[4μ₁ + 4μ₂]δ₁ + 2μ₂δ₂ - 6μ₁δ₃/H - ( 2μ₂δ₁ + [4μ₂ + 4μ₁]δ₂ - 6μ₁δ₃/H ) = 0 , eller

[4μ₁ + 2μ₂]δ₁ - [4μ₁ + 2μ₂]δ₂ = 0 ,

så hvis 2μ₁ + μ₂ ≠ 0 , følger det , at δ₁ = δ₂ .

Gang nu Ligning I med 4 og læg Ligning III til:

[10μ₁ + 16μ₂]δ₁ + [-6μ₁ + 8μ₂]δ₂ = FH , eller

[4μ₁ + 24μ₂]δ₁ = FH

#10

Jeg forstår bare ikke, hvordan du kan komme frem til "hvis 2μ₁ + μ₂ ≠ 0 , følger det , at δ₁ = δ₂". Hvad får dig til at tænke det?

#11

Det er jo nulreglen for et produkt. Man når frem til ligningen

[4μ₁ + 2μ₂] · (δ₁ - δ₂) = 0 ,

så hvis 4μ₁ + 2μ₂ ≠ 0 , kan man jo slutte, at δ₁ = δ₂ .

#12

Hvor ved du så på forhånd, at 4μ₁ + 2μ₂ ≠ 0?

#13

Det ved jeg jo heller ikke, og derfor skriver jeg "hvis" . Jeg formoder, at du selv har kendskab til, hvad dine koefficienter repræsenterer og kan ræsonnere dig til, om det er tilfældet eller ej.

#14

Du rammer faktisk det rigtige facit, men finder det underligt, at man kan "gætte" sig frem til en løsning.

I mit tilfælde er det også, at 4μ₁ + 2μ₂ ≠ 0. Hvad ville man så gøre, hvis dette ikke var tilfældet? Du behøver ikke, at regne det, men blot forklare, hvis det er simpelt.

#15

Jeg gætter mig da ikke til løsningen. Den kommer jo ud af ligningerne.

Hvis μ₂ = -2μ₁ ville man jo så indsætte det i ligningerne. De to første ligninger reduceres så til

0 = [4μ₁ - 8μ₁]δ₁ - 4μ₁δ₂ - 6μ₁δ₃/H

0 = -4μ₁δ₁ + [-8μ₁ + 4μ₁]δ₂ - 6μ₁δ₃/H ,

eller, under antagelsen at μ₁ ≠ 0,

-4δ₁ -4δ₂ -6δ₃/H = 0

-4δ₁ -4δ₂ -6δ₃/H = 0

dvs. Lign I og II er samme ligning, og systemet er, som ventet, underbestemt.

#16

Ok, så det er noget vi må antage for at komme videre.

Se billedet jeg har vedlagt. Synes ikke, at jeg får det samme som dig til sidst.

Kan ikke se, hvordan jeg skal bruge δ₁ = δ₂.

#17

Nej, du skal bruge din indsigt i problemet til at konkludere, at 4μ₁ + 2μ₂ ≠ 0 .

Man finder jo så , at

δ₁ = δ₂ = FH / [4μ₁ + 24μ₂]

og så af den oprindelige Lign I

δ₃ = H/(6μ₁) · [4μ₁ + 6μ₂]δ₁ = FH² · [4μ₁ + 6μ₂] / ((6μ₁)[4μ₁ + 24μ₂])

                                                  = FH² · [2μ₁ + 3μ₂] / (12μ₁[μ₁ + 6μ₂])

#18

Jeg har nok svært ved at konkludere det du skriver, ja.

Kan du vise, hvordan du får fra #10:

[10μ₁ + 16μ₂]δ₁ + [-6μ₁ + 8μ₂]δ₂ = FH?

#19

Ligningerne er, fra #7

I:   0 = [4μ₁ + 4μ₂]δ₁ + 2μ₂δ₂ - 6μ₁δ₃/H

III: 0 = - FH - 6μ₁δ₁  - 6μ₁δ₂ + 24μ₁δ₃/H

4·(I):  0 = [16μ₁ + 16μ₂]δ₁ + 8μ₂δ₂ - 24μ₁δ₃/H

4·(I) + (III): 0 = -FH + [16μ₁ + 16μ₂ - 6μ₁]δ₁ + [- 6μ₁ + 8μ₂]δ₂ , eller

[10μ₁ + 16μ₂]δ₁ + [- 6μ₁ + 8μ₂]δ₂ = FH

Det var måske en fordel, hvis du gav dig til at regne med ved siden af på papir.