Vektorfunktion - minimum

Givet to punkter udtrykt ved vektorfunktionerne kan man prøve at finde et generelt udtryk for normen vha. vektorfunktionerne og minimere dette udtryk.

find  (x_A-x_B)² +(y_A-y_B)² og find minimum for denne funktion. Du skal også lige teste om der ikke er minimum for t=0 eller t= 3

Ja ok og troede bare der måske var en nemmere måde. Men tak tak.

#1

"... finde et generelt udtryk for normen vha. vektorfunktionerne."

Kan du uddybe dig, hvad  en "norm" i denne sammenhæng er?

#2

Hvorfor skal man anvende denne funktion, der ligner en cirklens ligning; (x_A - x_B)² + (y_A - y_B)²  (med uden lighedstegn)?. Det giver ikke nogen mening for mig.

#3

Jeg er blot interesseret i at vide, hvordan det skal udregnes - ligegyldig om der findes nemmere eller svære måde at gøre det på. Jeg mener, at hvis man vælger den nemme metode end den svære metode uden grund, er det som om, man ikke har forstået det godt nok.

Jeg mener, i denne opgave, at det skal regnes således ud, at

... definerer en ny vektorfunktion, hvor to vektorfunktioner trækkes fra hinanden

r_BA(t) = [ x_A(t) - x_B(t) ; y_A(t) - y_B(t) ] = [ x_BA(t) ; y_BA(t) ]

dermed, finder man løsningen i t, at  ^d(r_BA)/_dt = 0   for   0 ≤ t ≤ 3, er det korrekt?

Man skal anvende den funktion der ligner cirklens ligning fordi en cirkel er mængden af alle punkter med samme AFSTAND fra centrum. Afstanden er beskrevet af normen ||AB|| = √((a1-b1)^2 + (a2-b2)^2) = r

hvor det hele udtrykket er under kvadratrodstegnet... normen er blot et mål for distanceformlen.

Når man differentierer normen ryger kvadratrodsudtrykket ned i nævneren af en brøk (prøv eventuelt at differentiere udtrykket mht. t efter du har sat funktionsudtryk ind if. dine vektorfunktioner)

Da man ønsker at minimere sætter man brøken lig 0.. og brøken er lig 0 når tælleren er 0.

Men i tælleren er ens kvadratrodsfunktion forsvundet så man kan hvi man ved dette sker ligesågodt tage udgangspunkt i udtrykket i #2 fremfor hele udtrykket for normen.

Det har jeg så gjort og jeg vedlægger det jeg har beregnet indtil videre i pdf.

Jeg tror ikke umiddelbart man kan gøre som du gør. Men kan ikke give en begrundelse der ikke bliver vag.

1) Norm er blot en generaliseret form forr længde af vektor. Her kan du rolig erstatte  det med længde

2) Det er kvadratet på afstanden mellem togene. Du kan godt tage kvadraroden af dette og minimere den derved fremkomne funktion. De 2 metoder vil give samme resultat men det er nemmere at minimere kvadratet på afstanden.

Det giver ikke nogen mening at tale om et minimum af en vektorfunktion. Du skal minimere længden ellere kvadratet på længden af vektorfunktionen og det er det der foreslås i #2

#5 & #6

OK. I #4, har jeg bare lavet en ny vektorfunktion mellem to vektorfunktioner. Sætter man nu "norm" på den, bliver fremgangsmåde den samme som jeres. Altså

r_BA(t) = [ x_A(t) - x_B(t) ; y_A(t) - y_B(t) ]

|r_BA(t)| =|r_AB(t)| = (x_A(t) - x_B(t))² + (y_A(t) - y_B(t))²

Jeg lader, at d(t) = |r_AB(t)|

så finder jeg nu d'(t) = 0, 0 ≤ t ≤ 3      ⇒  t = 0.905

Ret mig, hvis jeg tager fejl.

#5 Btw, hvilket program bruger du til at lave matematik på din fil?

|r_BA(t)| =|r_AB(t)| = (x_A(t) - x_B(t))² + (y_A(t) - y_B(t))²

Ja det er det samme udtryk som jeg arbejder med og søger at finde

d(t) = |r_AB(t)|

angående værdien ved jeg ikke om det er korrekt for så langt er jeg ikke nået. Kunne selvfølgelig løse det numerisk men det er for kedeligt. Har du et udtryk for differentialkvotienten vil jeg gerne se det

#8

Helt I orden.

Se vedhæftet fil

#9

Se pænere version

Det liger meget det jeg er ved at komme frem til...Ikke så underligt

Er det mapple (ligner lidt R grafer ellers?)

Det du kalder d(t) er ikke normen, afstanden eller længden. Det er kvadratet på disse størrelser. Du skal lige teste om afstanden skulle være mindst for t= eller for t= 3. Hvis din figur holder ser det faktisk ud til at det er for t =0 Ellers ser det godt nok ud

Jeg har samme plot

Men jeg forstår ikke hvor skulle det være t = 0 linjen begynder nede i venstre hjørne. Da er den da langt fra den blå bane??

#12

Ups ... Så, det skulle have rettet til (d(t))² istedet for d(t).

Se de redigeret resultater ... Hvad mener I om denne fil?

#11

Det er et program, der hedder TI-InterActive, ikke Maple. :o)

Du angiver ikke hvad der er på grafen. Jeg har gættet på at den blå kurve er r_AB(t). Den ser ud til at spiralere ud, hvorfor jeg gætter på at længden af vektoren er mindst ved start, Jeg har dog været lidt skødesløs der. Den kunne lige så godt spiralere ind og så vil mindsteafstanden være for t=3.

Du bør i din besvarelse angive hvad både den røde og blå kurve er.

Den blå kurve er vist (Xa,Ya) som disse er defineret i opgaveformulering #0 og den røde (Xb,Yb) [sådan så det ihvertfald ud da jeg plottede dem]. Derfor jeg ikke kunne forstå du mente at t=0 var potentielt minimum jvf. #12 og #13 .

Så har jeg misforstået det. Du skal alligevel teste om der ikke er minimum i t= 0 eller t=3. Der kan godt være ekstrum der, selv om den afledede er 0