Finde grænser... opgave

Grænserne findes ved at løse √(x²+y²) = 2

Hvad får du grænserne til?

Grænserne er 0 ≤ √(x²+y²) ≤ 2 , √(x²+y²) ≤ z ≤ 2 .

Opgaven løses bedst i cylinderkoordinater (r,φ,z) hvor 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ 2π, r ≤ z ≤ 2 .

Min lærer har også løst opgaven i cylinder koordinater. 

Jeg har mine noter foran mig, hvor jeg har tegnet tre koordinatsystem osv. men jeg kan simpelthen ikke aflæse eller se hvordan han er kommet frem til de grænser (hvilket er samme som det du er kommet frem til)

Kan du skitsere det i Paint eller noget og smide det herinde så jeg kan se det? 

Jeg sidder desuden med denne opgave, som er i samme kategori (vedhæftet). denne skal også løses cylinder koordinater. 

Jeg forsøger at få styr på denne opgave type, da jeg skal op i morgen, hvor opgaver af denne type nok kommer.

vedhæftet 

#5

Ligningen z = √(x²+y²) eller z = r er ligningen for en kegleflade , der "står på hovedet", med toppunktet i (0;0;0). Ligningen z = 2 er ligningen for en plan parallel med xy-planen i afstanden 2 fra denne, og den skærer keglefladen i en cirkel med centrum i (0;0;2) med radius r = 2. Denne cirkel er så bunden (eller toppen om man vil her) for den kegle, som afskæres af de to grænseflader.

Keglen gennemløbes i cylinderkoordinater som anført i #3. Rumfanget af dette legeme er

V = ₀∫² ₀∫^2π _r∫² 1·r dr dφ dz = ₀∫² ₀∫^2π r·[z]²_r dr dφ = ₀∫² ₀∫^2π r·(2-r) dr dφ

   = 2π · ₀∫² r·(2-r) dr = 2π · [r² - r³/3]²₀ = 2π·(4 - 8/3) = 8π/3

Til sammenligning er rumfanget af en kegle med radius r = 2 og højde h = 2

V_kegle = (π/3)·h·r² = 8π/3

Tak skal du have. 

Men hvis jeg til eksamen ikke vidste at det var grafen af en kegle, så kunne jeg jo ikke løse opgaven?

#7

Det ser man ved at lave en skitse. Ligningen z = r er ligningen for en ret linie, der frembringer den krumme kegleflade.