Masse af en plade (calculus)

Spørgsmålet 

Nedre grænse 1 <=x²+y² <=> 1-x² > y² <=>  y > kvrod(1-x²) eller y < -kvrod(1-y²). Den anden grænse beregnes på samme måde

Det er det i #2 

den anden grænse er så 

y = sqrt(4-x²)

og -kvrod(4-x²)

er det op til mig selv at vælge hvilken jeg vil regne med? 

nej. Du får 2 intervaller nemlig fra -kvrod(4-x²) til -kvrod(1-x²) og fra kvrod(1-x²) til kvrod(4-x²)

Du kan også betragte det som, der er udskåret en halvcirkel ud af pladen. Beregn  så massen som om udskæringen ikke var der, hvilket vil sige fra -kvrod(4-x²) til kvrod(4-x²). Dernæst beregn massen af det udskårne d.v.s. fra -kvrod(1-x²) til kvrod(1-x²) og træk det fra .

Tegn evt. en figur af området. Det er altid godt at gøre det i den slags opgaver

hvordan kommer integral udtrykket til at se ud? 

er stadig forvirret. 

#8

M = ₀∫² _-√(4-x^2)∫^{√(4-x^2)} x dy dx   -   ₀∫¹ _-√(1-x^2)∫^{√(1-x^2)} x dy dx

∫₀¹x(∫_{-kvrod(4-x^2)}^{-kvrod(1-x^2)}dy)dx + ∫₀¹x(∫_kvrod(1-x^2)^{kvrod(4-x^2)}dy)dx eller

∫₀¹x(∫_{-kvrod(4-x^2)}^{kvrod(4-x^2)}dy)dx - ∫₀¹x(∫_{-kvrod(1-x^2)}^{kvrod(1-x^2)}dy)dx

#9 og 10# angiver to forskellige grænser.. 

hvorfor er grænserne 1 og 0 i #10? 

eller 2 og 0 i #9? 

#11

Det område, der skal integreres over, er

R = {(x,y} ∈ R² | 1 ≤ x² + y² ≤ 4 , x ≥ 0}

Betingelsen 1 ≤ x² + y² ≤ 4 udvælger alle punkter i en cirkelring med centrum i (0,0) og med indre radius 1 og ydre radius 2. Betingelsen x ≥ 0 udvælger alle punkter i den højre halvplan, der har y-aksen som skillelinie og som indeholder den positive x-akse. Mængden R er fællesmængden af disse to mængder.

Integralet i #9 beregnes ved først at integrere over hele halvcirklen med centrum i (0,0) og med radius 2, begrænset af y-aksen og indeholdende den positive x-akse. Dernæst foretages den samme integration over den tilsvarende halvcirkel med radius 1, og det sidste integral trækkes fra det første.

efter at integreret første del får jeg 

    8-(16/3)

og andet led 

    1-(2/3)

så løsningen som jeg får er 

     (8-(16/3)) - (1-(2/3)) 

Jeg finder (se #9)

₀∫² _-√(4-x^2)∫^{√(4-x^2)} x dy dx = 16/3 , og

₀∫¹ _-√(1-x^2)∫^{√(1-x^2)} x dy dx = 2/3 ,

så

M = (16/3) - (2/3) = 14/3

Det ser ud til at jeg får et andet resultat end du gør, så jeg må regne det igennem igen. 

#15

Her benyttes

₀∫² _-√(4-x^2)∫^{√(4-x^2)} x dy dx = ₀∫² 2x·√(4 - x²) dx = ₀∫⁴ √(4-t) dt = ₀∫⁴ (4-t)^1/2 dt

                                             = [ -(2/3)·(4-t)^3/2 ]⁴₀ = (2/3)·4^3/2 = (2/3)·8 = 16/3

og tilsvarende

₀∫¹ _-√(1-x^2)∫^{√(1-x^2)} x dy dx = ₀∫¹ 2x·√(1 - x²) dx = ₀∫¹ √(1-t) dt = ₀∫¹ (1-t)^1/2 dt

                                             = [ -(2/3)·(1-t)^3/2 ]¹₀ = (2/3)·1^3/2 = 2/3

 ∫x dx = (1/2)*x² ikke? 

hvorfor skriver du 2x √4-x² ?

men du bruger også anden regne metode end jeg gør. 

Der integreres første gang med hensyn til y. x er i denne forbindelse en konstant. Det giver [x*y]ab = x[y]ab. hvor a og b er de angivne nedre og øvre grænser for y. Resultatet skal dernæst integreres med hensyn til x

https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=1222575 

kan i hjælpe mig videre med det? jeg er stadig ikke med. 

men hvordan løser man del opgave b så? er det bare samme grænser jeg anvender for at finde y?