HURTIG HJÆLP

Tangenten i punktet A(2,3) kan først findes ved

     f(x) = x³ - 3x + 1

     f'(x) = 3x² - 3

Informationerne til tangentligningen findes

     x₀ = 2

     f(x₀) = f(2) = 2³ - 3 * 2 + 1 = 8 - 5 = 3

     f'(x₀) = f'(2) = 3 * 2² - 3 = 12 - 3 = 9

Værdierne indsættes nu i tangentligningen

     y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀)

     y = 9(x - 2) + 3

     y = t(x) = 9x - 18 + 3 = 9x - 15

For at to linjer i planen er ortogonale, skal produktet af deres hældninger være lig 1. Derfor kan følgende udtryk skrives

     a₁ * a₂ = -1

     9 * a₂ = -1

     a₂ = -1/9 = -0.11

Du kan nu bestemme b for den ortogonale linje til t vha. punktet A

     b = y - a₂x = 3 - (-0.11 * 2) = 3 + 0.2222 = 3.2222

Funktionsforskriften for denne linje, som er ortogonal på tangenten t(x) er således

    y = n(x) = -0.11x + 3.22

Ved beregning af arealet kender du punktet A(2,3) som begge linjer går igennem. For at finde de to andre punkter i trekanter (skæringer med 1.-aksen) sættes y lig 0 i begge funktioner og x-værdien findes

     t(x) = 9x - 15

     0 = 9x - 15

     x = 15 / 9 = 1.67

og den anden

     n(x) = -0.11x + 3.22

     0 = -0.11x + 3.22

     x = 29.27

Nu har du altså samtlige punkter i trekanten; A(2,3), B(0,1.67) og C(0,29.27). Nu kan du finde længden af højden i trekanten ved

     |AC| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((0 - 2)² + (29.27 - 3)²) = 26.3

Grundlinjen kan ligeledes også beregnes ved

     |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √((2 - 0)² + (3 - 1.67)²) = 2.40

Arealet kan nu beregnes med formlen

     T = 0.5 * h * g = 0.5 * |AC| * |AB| = 0.5 * 26.3 * 2.40 = 31.56