Kan nogen bøje i neon?

Du bestemmer en funktion som beskriver hældningen i ethvert punkt på grafen for din oprindelige funktion.

I tilfældet hvor du laver optimering der udnytter du at et lokalt minimum/maksimum har hældningen 0, og man kan så finde den x-værdi hvortil dette er tilfældet.

 Beskriver hældningen i ethvert punkt i den oprindelige graf... Hmm... Ja, jeg hører hvad der bliver sagt osv., det er som om jeg bare ikke kan få den der dybere forståelse af det. Når jeg finder differentialkvotienten, når x går mod 0.. Er det så den samme differentierede funktion, som også beskriver alle de andre punkter?

Jeg har altid bare fulgt reglerne og formlerne osv., men jeg har faktisk aldrig forstået hvad det er jeg sidder og regner på, det er dybt frustrerende...

Forestil dig, at du er dåsefabrikant. Du vil selvfølgelig have så få udgifter på produktionen som muligt, og du fremstiller skinke på dåse. Det første, du gør, er at bestemme dig for tykkelsen af materialet, det må ikke være for kraftigt, det koster for meget, det må heller ikke være for tyndt (det er pladejern), så buler dåsen, og så må den ikke sælges, så det gælder om at finde den helt rigtige tykkelse, noget, der kan tåle stød og falde på gulvet uden at tage skade.

Så vidt så godt, nu skal du til at lave din dåse på en sådan måde, at rumindholdet (pi*r²*h) er størst muligt og samtidig skal arealet (2*pi*r*h+2*pi*r²) være mindst muligt. Tænk også på, at en dåse ikke er andet end en rektangulær plader, der er bukket og forsynet med top og bund. Hvordan vil du løse dette problem? Kan du ikke det, så sælg din dåsefabrik og lav noget andet, for det er for dyrt at få en matematiker til at hjælpe sig.

Det er skridtlængden h (også kaldet Δx) du lader gå mod 0 i differentialkvotienten. Dette giver dig så netop den afledte funktion, altså den funktion som beskriver hældningen i ethvert punkt på grafen for din oprindelige funktion.

 Erik Morsing: Det er netop mit problem og ja - jeg ville hurtigt blive tvunget til at sælge min dåsefabrik(!) men Guderne må vide at jeg kæmper med dette fag. Jeg forstår godt sammenhængen mlm. rumfang og areal på - fx. - en dåse. Jeg forstår også godt at man udnytter, som Danielras skrev, at min. og max. har hældningen 0. Der er et trin ind i mellem dette jeg ikke forstår, sådan helt grundlæggende. Der er ligesom et sort hul, der mangler at blive udfyldt. Hvordan kan det fx. være, at hvis jeg differentierer den ene funktion, så kan denne afledte funktion fortælle mig et tal for fx. arealet.

Jeg er klar over, at jeg burde have denne "indsigt" på nuværende tidspunkt. Jeg har læst og læst og prøvet at forstå - måske spekulerer jeg i virkeligheden for meget over det. Men jeg mangler ligesom det der "link" mellem dét at differentiere og til hvad det betyder rent praktisk - jeg kan ikke se for mig, hvad det er der foregår.

Er det meget alarmerende? Håber ikke jeg er helt tabt på gulvet. :)

 Danielras; tak for hjælpen. Når du skriver skridtlængden h.. Hvad mener du så helt præcis?

Jeg tror du bliver nødt til at kigge på formlen for differentialkvotienten selvom du ikke gider formlerne :) Den h jeg snakker om er den der kaldes Δx her:

http://da.wikipedia.org/wiki/Differentialkvotient

 Jo jo, jeg gider skam godt formlerne, prøver alt hvad jeg kan at lære dem. Min kommentar i mit første indlæg skulle bare henvise til, at jeg ønsker at få det forklaret helt pædagogisk og med ord fremfor tal - jeg har generelt svært ved matematik, så jeg er ikke så god til at afkode når i skriver "på matematisk".. ;)

Hehe forståeligt nok, men jeg er ret sikker på at nøglen til din forståelse af emnet netop er at forstå udtrykket for differentialkvotienten.

Jeg er med på, at man beskriver hældningen i et punkt og at man beskriver grænseværdien meget, meget, meget tæt på x_0. Jeg har bare enormt svært ved at forstå, hvordan forskriften for denne nye afledte funktion kan anvendes til det, den kan. Jeg har sådan en idé om, at når vi har differentieret, så finder man en ny, afledt funktion hvor man så for "hyggens skyld" kan finde lidt min/max/monotoni.. Men at det så ligesom ender der?? Kan ikke greje den brugbare sammenhæng - sig endelig til hvis jeg ikke har fået gjort mig forståelig omkring hvad mit problem er? _. 

 Ja, det kan godt være du har ret. :) 

Fra dit link:

Man kan tilnærmelsesvist beregne differentialkvotienten for en funktion y(x) i et givet punkt (x,y(x)), ved at betragte et punkt en anelse ved siden af. Hvis forskellen mellem de to punkters x-værdier kaldes Δx, er tilvæksten i funktionen fra x til x + Δx lig y(x + Δx) − y(x). Forholdet mellem tilvæksten i y(x) (kaldet Δy(x)) og tilvæksten i x er derved:

Dette er det samme som hældningstallet for den linje der går igennem de to punkter (x,y(x)) og (x + Δx,y(x + Δx)). Jo mindre Δx bliver, dvs. jo tættere de to punkter kommer på hinanden, desto tættere kommer Δy(x) / Δx på den eksakte værdi for differentialkvotienten y'(x) i punktet x.

------

Jeg forstår, at man undersøger et punkt uhyre tæt på differentialkvotienten og hvordan denne værdi findes. Men du har ret i, at jeg ikke forstår; hvad ER differentialkvotienten. Ja, det er et uendeligt lille tal.. Men hvad er den egentlig helt præcis udtryk for? Et magisk tal, som gør at man kan trylle fx. et areal frem uden at vide hvordan?! *GG* (Min version.. ;o)

"Hvis ovenstående grænseværdi findes for ethvert punkt i funktionens definitionsmængde, siges funktionen at være differentiabel."

Denne sætning er jeg faktisk heller ikke sikker på jeg forstår. Hvordan kan  grænseværdien for "x meget tæt på = 0" være den samme i alle punkter i funktionen, hvorfor er dét det samme tal? Og hvad indebærer det overhovedet at sige en funktion er differentiabel, hvad er det for en egenskab det beskriver udover at den er kontinuert og har en afledt funktion...? Suk.. Jeg ER fortabt. :)

Må nok indrømme at jeg ikke er helt med på hvor du står af, men lad os da tage et eksempel. Vi har en funktion:

f(x) = x^2

Vi ønsker at kende hældningen i et hvilket som helst punkt (x,f(x)) på denne funktions graf. Vi benytter udtrykket for tilnærmelsen til differentialkvotienten:

f(x+Δx) - f(x) / Δx

Hvilket med den givne funktion bliver:

(x+Δx)^2 - x^2 / Δx

Hvilket med de sædvanlige regneregler kan omskrives til:

x^2 + Δx^2 + 2xΔx - x^2 / Δx

x^2 - x^2 = 0 og derfor fås:

Δx^2 + 2xΔx / Δx

Divisionen udføres så vi nu har:

Δx + 2x

Den afledte funktion f'(x) (den eksakte differentialkvotient) kan nu findes ved at finde grænseværdien af ovenstående når vi lader Δx gå mod 0. Hermed fås den afledte funktion:

f'(x) = 2x

Har du nu eksempelvis lyst til at vide hvad hældningen for funktionen f(x) = x^2 er i punktet (3,f(3) indsætter du blot x=3 i den afledte funktion:

f'(3) = 2*3 = 6

 Daniel, tak for din tid. :) Fint eksempel, godt forklaret - jeg er helt med på hvad der sker.

Men - kan du forklare mig hvordan denne afledte funktion, f'(x) = 2x, kan bruges? Hvad er det præcis den kan? Jeg tror faktisk efterhånden jeg har kredset det ind til, at mit problem er selve det at udlede funktioner. Altså når jeg fx. skal finde størst mulige areal men mindst mulige rumfang - jeg forstår ikke rigtig hvordan dette gøres og hvorfor det med diff. overhovedet kommer ind i billedet, med mindre man skal finde max. og min..

 Som den anden deltagende person i denne tråd skrev:

"(...) lave din dåse på en sådan måde, at rumindholdet (pi*r²*h) er størst muligt og samtidig skal arealet (2*pi*r*h+2*pi*r²) være mindst muligt. (...) Hvordan vil du løse dette problem?"

Jeg forstår godt pointen, sammenhængen.. Men ved ikke hvad jeg skal gribe fat i, for at løse det matematisk.

I optimering handler det grundlæggende om at bruge de givne oplysninger til at opstille nogle begrænsninger eller relationer rent matematisk. Disse benyttes så til at opstille et udtryk hvor eksempelvis overskuddet af en produktion kun afhænger af én variabel (antallet af producerede varer f.eks.). Det er så her differentialregningen kommer ind i billedet.

Når vi eksempelvis frem til en funktion for overskuddet der ser således ud:

O(x) = -3x^2 + 20x

Så kan vi bestemmet det antal varer x som giver det største overskud, ved at løse:

O'(x) = 0

Da et maksimumspunkt netop har hældningen 0.

 Ok, ja det kan jeg sagtens følge.

Du kender vel ikke til et link e.l. med opgaver i at udlede funktioner (har ikke lige et bedre begreb for det) - jeg tror blandt andet mit problem består i overhovedet at nå frem til fx. funktionen for et overskud osv. Jeg går ofte kold i disse opgaver, hvor jeg selv skal finde ud af "noget-som-en-funktion-af-noget-andet", altså hvor der ikke bare er givet en forskrift man kan arbejde videre på, men hvor man selv skal gennemskue det.

Prøv at søg på optimering her i forummet. Der har været ekstremt mange spørgsmål om dette emne gennem tiden.

 Ok - altid noget jeg ikke er alene i båden af uvidenhed. ;) 

Jeg siger mange tak for hjælpen, jeg er glad for du ville bruge tid på at svare!