integration - sammensat eller ej

Den betragtes ikke som sammensat .

                                ∫(6x²+2x)dx = ∫ 6x²dx  +  ∫ (2x)dx

 Hvordan kan jeg så se om den er sammensat?'

er den det hvis  ∫ (6x²+2) ?

                       6x²+2x    er et simpelt polynomium

     men eksempelvis

                     ∫ (6x+1)·sin(6x²+2x)dx        er  et integral hvor integranden er sammensat

 Findes der ikke en mere generel definition?

                            f(g(x)) skal være en elementarfunktion af en elementarfunktion

 men hvordan er (6x+1)·sin(6x2+2x)dx = f(g(x))

Det er det heller ikke
sin(6x²+2x) = f(g(x)) og g(x) = 6x²+2x, så g'(x) = 12x + 2 = 2(6x+1)

Mht. til at se, om der er tale om en sammensat funktion:
Du skal tænke på basisfunktionerne ax+b, xⁿ, ln(x), a^x, e^x, √x, sin(x), cos(x) og tan(x). Hvis der ikke bare står x eller u eller t eller et andet enkelt bogstav - så er det sammensat, men du kan få det på basisformen ved at omdøbe udtrykket, der står der til et bogstav.

Eks. ln(sin((2x+1)³))

Start ved x og se, hvad der gøres ved det:  
x → 2x+1 = y → y³ = z →sin(z) = t →ln(t)
ln(sin((2x+1)³)) = ln(sin(y³)) = ln(sin(z)) = ln(t)

Når du så differentierer, skal du differentiere hver funktion for sig og gange resultaterne:

2 · 3y²·cos(z)·1/t

Til sidst skal du så indsætte udtrykkene for de anvendte substitutioner, så der kun indgår den variable x

2 · 3(2x+1)²·cos(y³)·1/sin(z) = 2 · 3(2x+1)²·cos((2x+1)³)·1/sin(y³) =2 · 3(2x+1)²·cos((2x+1)³)·1/sin((2x+1)³)

Giver det mening?

Det er ved differentiation.

Ved integration er det lidt mere kringlet - der går det nemlig ikke altid godt, men ...

Hvis du ikke direkte har basisfunktionerne, så prøv at bruge substitution (kald et x-udtryk t)  - hvis det ikke går godt, så x'erne forsvinder, så prøv en anden substitution.
Eksemplet ovenfor ∫ (6x+1)·sin(6x²+2x)dx

Substitution: t = 6x²+2x) ⇒dt/dx = 12x +2 ⇒dx = dt/(12x+2)     
Det er ikke en hel legal skrivemåde, da dt og dx ikke er tal, men det virker alligevel pga. af sætningen om substitution
∫ (6x+1)·sin(t)dt/(12x+2) = ∫ ½·sin(t)dt = -½cos(t) +k

Okay - men hvis jeg har funktionen a*(x+1)+b -  er denne så sammensat?

    nej
                                ax + (a+b)                          ser det særlig sammensat ud?
                               ^{elementært
                                          polynomium}

                        f(x) = cos(3x+14)            

                        g(x) = (3x+14)

                        h(y) = cos(y)

                        f(x) = h(g(x)) = h_ºg(x)

#9 Ja, det er egentlig sammensat g(t) = a·t + b, med t = x+1, men det er nok lettere at gange ind i parentesen, som foreslået af #10