Matematik

Integration ved substitution - bestemt integral.

15. november 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej vi er igang med en opgave, hvor vi skal finde et bestemt integral efter en stamfunktion er bestemt ved substitutionsmetoden. Integralet ser således ud:

$\int_{1}^{3} 1/(2x-1) dx$

Vi har fundet ud af, at den indre funktion er t = 2x-1 og dermed fundet ud af, at dt/dx = 2 og dx = 1/2 dt

Vi har så fundet de nye integrationsgrænser, som er 2*3-1 = 5 og 2*1-1 = 1 og så får vi:

$\int_{1}^{5} 1/t *1/2dt$ men vi er nu gået i stå, da vi ikke kan se, at noget går ud med hinanden? Tak på forhånd!

Brugbart svar (0)

Svar #1
15. november 2014 af OliverGlue

#0 Jeg synes det er lettere at finde det ubestemte integrale og så evaluere med de oprindelige grænser. Først findes dx, ligesom du har gjort

$t=2x-1\Rightarrow\dfrac{dt}{dx}=2\Leftrightarrow dx=\dfrac{dt}{2}$

som indsættes og det ubesteme integral findes til ln(t), hernæst kan den oprindlige funktion indsættes og evalueres med de oprindelige grænser

$\dfrac{1}{2}\int_{1}^{3}\dfrac{1}{t}dt=\left.\dfrac{1}{2}\ln(2x-1)\right|_{1}^{3}=\dfrac{1}{2}(\ln(6-1)-\ln(1)=\dfrac{1}{2}\ln(5)$

Brugbart svar (0)

Svar #2
15. november 2014 af ChemistryIsKey

Se vedhæftet løsning :)

Vedhæftet fil:SP.docx

Svar #3
15. november 2014 af DenGenialeProfessor (Slettet)

Tak for de fine løsninger OliverGlue og qewrett, men jeg tror, at du qewrett har lavet en regnefejl et sted, da det gerne skal give 0.845 .. Og OliverGlue også får det, men du får 0.424

Brugbart svar (0)

Svar #4
15. november 2014 af ChemistryIsKey

Nå ja det er da også rigtigt! Jeg læste funktionen forkert - troede den var 1/(2x+1) i stedet for 1/(2x-1)...

Min fejl ;)

Brugbart svar (0)

Svar #5
15. november 2014 af OliverGlue

Det giver ikke 0.845, men

$\dfrac{1}{2}\ln(5)\approx 0.80470$

I øvrigt kan man sagtens ændre grænserne, som du har gjort, derved behøves du ikke finde det ubestemte integral, så har du blot

$\dfrac{1}{2}\int_{1}^{5}\dfrac{1}{t}dt=\left.\dfrac{1}{2}\ln(t)\right|_{1}^{5}=\dfrac{1}{2}(\ln(5)-\ln(1)=\dfrac{1}{2}\ln(5)$

meen.. jeg ved ikke hvorfor det skulle være smart.

Skriv et svar til: Integration ved substitution - bestemt integral.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.