Matematik

Differentialligning - hurtig hjælp.

13. december 2014 af blobbeepuzzle (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg skal bevise at den logitiske differenstialligning dy/dx = ay(M-y) har den fuldstændige løsning f(x) = M/1+c*e^aMx

Og det eneste jeg kan finde i min bog er y^{' =}K*y (m-y) har den fuldstændig løsning til funktionen.

En der kan forklare mig om y'=k*y (m - y) er det samme som dy/dx = ay ( M - y ) ?? Er meget forvirret.

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2014 af mathon

Det er det samme blot med andre bogstaber.

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. december 2014 af mathon

Løsningsberegning:

                                  $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=a\cdot y\cdot (M-y)$
af bekvemmelighed
sættes
                                   $y=\frac{1}{u}\Leftrightarrow \mathbf{\color{Red} u=\frac{1}{y}}$

hvoraf
                                   $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} u}\cdot \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=-\frac{1}{u^2}\cdot u{ \, }'=a\cdot \frac{1}{u}\cdot \left ( M-\frac{1}{u} \right )$
og
                                   $u{\, }'=-a\left ( Mu-1 \right )=a-aMu$

$u{\, }'+aMu=a$ som løst med panserformlen
giver
$u=e^{-aMx}\cdot \int _0a\cdot e^{aMx}dx+C_1e^{-aMx}$

$u=e^{-aMx}\cdot \frac{a}{aM}\cdot e^{aMx}+ C_1e^{-aMx}$

$u=\frac{1}{M}+C_1e^{-aMx}$

$\mathbf{\color{Red} \frac{1}{y}}=\frac{1}{M}+C_1e^{-aMx}$

$y=\frac{1}{\frac{1}{M}+C_1\cdot e^{-aMx}}$

$y=\frac{1}{1+C\cdot e^{-aMx}}$

Svar #3
13. december 2014 af blobbeepuzzle (Slettet)

Mange tak :) Fandt det hele, det med differentialligninger er bare ikke mig. Har svært ved at gennemskue den.

Jeg skal bevise at (a^x)' = ln(a)a^x - har du en ide om hvad det er jeg skal lede efter i bogen?

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benyt, at a^x = e^x·ln(a) og benyt så at e^kx har en kendt differentialkvotient..

Svar #5
13. december 2014 af blobbeepuzzle (Slettet)

# 4
Er komplet tabt nu. Kan ikke finde et bevis for det i vores bog.

Brugbart svar (0)

Svar #6
14. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Udtrykket a^x = e^x·ln(a) er definitionen for funktionen a^x , a > 0 . Du må have lært, at eksponentialfunktionen e^xhar sig selv som differentialkvotient, dvs (e^x)' = e^x . Benyt så differentialkvotienten for en sammensat funktion til at finde

(e^kx)' = e^kx ·(kx)' = k·e^kx ,

og anvend nu dette resultat på funktionen a^x .

Svar #7
14. december 2014 af blobbeepuzzle (Slettet)

# 6. Jeg tror godt at jeg forstår hvad det er du skriver, men er dårlig til Matematik (skal desværre bruge det) og er på nippet til at udeblive fra eksamen i morgen udelukkende pga dette spørgsmål. Har ledt hele pensum igennem, og kan bare ikke finde noget om differentialligninger og eksportentialvækst.

Har ingen ide om hvordan jeg skal bevise det...

Jeg skal bevise det og opstille en en vækst, dvs opstille differentialligningen og give en fortolkning af dens løsning.

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. december 2014 af mathon

Er du med på, at
når
$f(x)=y=b\cdot e^{kx}$
så er
$f{\, }'(x)=y{\, }'=b\cdot e^{kx}\cdot k=k\cdot \left ( b\cdot e^{kx} \right )=k\cdot y$

$y{\, }'=k\cdot y$ ?

Svar #9
14. december 2014 af blobbeepuzzle (Slettet)

# 8

Ja så langt er jeg med nu.

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. december 2014 af mathon

Med
a=e^k har du så

                    $\ln(a)=k$
hvoraf
                    $y{\, }'=k\cdot y=\ln(a)\cdot y$                     om konstanten hedder k eller ln(a) er uden betydning,
                                                                                    da begge er en konstant.

Svar #11
14. december 2014 af blobbeepuzzle (Slettet)

Ja okay. Er vores (a^x)' det samme som y'?

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. december 2014 af mathon

$\left ( a^x \right ){\: }'=\left ( e^{\ln(a)\cdot x} \right ){}'=e^{\ln(a)\cdot x}\cdot \ln(a)=\ln(a)\cdot a^x$

$\left ( a^x \right ){\: }'=\ln(a)\cdot a^x$
så
$y=b\cdot a^x$

$\mathbf{\color{Red} y{\, }'}=b\cdot \left (a^x \right ){}'=b\cdot \ln(a)\cdot a^x=\ln(a)\cdot (b\cdot a^x)\mathbf{\color{Red} \; =\ln(a)\cdot y}$

Brugbart svar (0)

Svar #13
14. december 2014 af mathon

   Differentialligningen
                                          $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=k\cdot y=\ln(a)\cdot y$
har altså den
fuldstændige løsning
                                          $y=C\cdot a^x\; \; \; \; \; \; \; a=e^k$         (som forklaret i #4 og #6)

Skriv et svar til: Differentialligning - hurtig hjælp.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.