Matematik

Bestem arealet af M

11. oktober 2017 af gabiglos - Niveau: B-niveau

Hey alle igen, har siddet fast i nu ret lang tid da jeg ikke ved hvordan jeg skal regne den her opgave, nogen der kan hjælpe mig? opgaven lyder :

En funktion f er bestemt ved f(x)-x^3+8.Grafen for f afgrænser sammen med de to koordinatakser en punktmængde M, som vist på figuren.Bestem arealet af M.

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2017-10-11 kl. 19.04.24.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. oktober 2017 af mathon

f(x) - x^3+8 - eller =

Svar #2
11. oktober 2017 af gabiglos

#1
f(x) - x^3+8 - eller =

sorry det er =

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. oktober 2017 af Craoder (Slettet)

Vi skal bestemme det bestemte integral (haha ;)) fra 0 op til 2.

$\int_{0}^{2}x^3+8\, dx$

Måden det bestemte integral findes på er ved, at vi først beregner det ubestemte integral, så vi kan opnå følgende:

$\int_{0}^{2}x^3+8\, dx = [F(x)]^2_0=F(b)-F(a)$

Vi beregner først stamfunktionen til f(x). Dette gør vi at betragte integralet af leddene separat:

$\int x^3dx=\frac{x^4}{4}$

$\int 8dx=8x$

Vi sætter dette sammen i et udtryk og adderer selvfølgelig en konstant, k:

$F(x)=\frac{x^4}{4}+8x+k$

Nu da vi har vores stamfunktion, kan vi indsætte integrationsgrænserne i udtrykket, jeg nævnte tidligere:

$F(2)-F(0)=(\frac{2^4}{4}+8*2)-(\frac{0^4}{4}+8*0) = 20 + 0 = 20$

Brugbart svar (0)

Svar #4
11. oktober 2017 af mathon

$\small \small f(x)=-x^3+8$

grænseberegning:
$\small 0=-x^3+8$

$\small x^3=8=2^3$

$\small x=2$

$\small f{\, }'(x)=-3x^2<0$ $\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \text{det vil sige, at f(x) er aftagende - ogs\aa \; - fra (-2,0). Det afgr\ae nsede omr\aa de } \\ \text{m\aa \;derfor v\ae re omr\aa det begr\ae nset af grafen, koordinatakserne og}\\ \text{linjerne med ligningerne x=0 og x=2.}$

$\small \small A_M=\int _{0}^{2}\left ( x^3+8 \right )\mathrm{d}x=\left [ \tfrac{1}{4}x^4+8x \right ]_0^2=\tfrac{1}{4}\cdot 2^4+8\cdot 2=20$

Brugbart svar (1)

Svar #5
11. oktober 2017 af mathon

korrektion:

$\small \small f(x)=-x^3+8$

grænseberegning:
$\small 0=-x^3+8$

$\small x^3=8=2^3$

$\small x=2$

$\small f{\, }'(x)=-3x^2<0$ $\small \small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \text{det vil sige, at f(x) er aftagende - ogs\aa \; - fra (0,8). Det afgr\ae nsede omr\aa de } \\ \text{m\aa \;derfor v\ae re omr\aa det begr\ae nset af grafen, koordinatakserne og}\\ \text{linjerne med ligningerne x=0 og x=2.}$

$\small \small A_M=\int _{0}^{2}\left ( x^3+8 \right )\mathrm{d}x=\left [ \tfrac{1}{4}x^4+8x \right ]_0^2=\tfrac{1}{4}\cdot 2^4+8\cdot 2=20$

Brugbart svar (1)

Svar #6
11. oktober 2017 af Craoder (Slettet)

Hov. Det ser ud til, at jeg roder rundt i det. Da det er:

$f(x)=-x^3+8$

ikke

$f(x)=x^3+8$

må det bestemte integral være

$A_M=\int_{0}^{2}(-x^3+8)dx=[-\frac{1}{4}x^4+8x]^{2}_{0}=-\frac{1}{4}\cdot2^4+8\cdot2=12$

Mathon, jeg beklager, hvis det jeg sagde førte til forvirring, i og med at du til sidst fik samme resultat, som jeg gjorde. :-)

Svar #7
11. oktober 2017 af gabiglos

#6
Hov. Det ser ud til, at jeg roder rundt i det. Da det er:

$f(x)=-x^3+8$

ikke

$f(x)=x^3+8$

må det bestemte integral være

$A_M=\int_{0}^{2}(-x^3+8)dx=[-\frac{1}{4}x^4+8x]^{2}_{0}=-\frac{1}{4}\cdot2^4+8\cdot2=12$

Mathon, jeg beklager, hvis det jeg sagde førte til forvirring, i og med at du til sidst fik samme resultat, som jeg gjorde. :-)

Okay så jeg skal ikke ændre på hele regnestykket kun ved at sætte minus foran 8 ikk? :)

Brugbart svar (0)

Svar #8
11. oktober 2017 af Craoder (Slettet)

Jeg opdagede, at der under min beregning manglede et '-' foran $x^3$ -leddet. Det ændrer selvfølgelig på, hvad det ubestemte integral er. Jeg beregnede det oprindeligt til

$\int (x^3)dx=\frac{x^4}{4}$

men da der skal være et minus foran $x^3$ , må det korrekte være

$\int (-x^3)dx=\frac{-x^4}{4}$

Det endelige resultat er altså 12! Ikke 20 som jeg påstod til at starte med - jeg beklager. :-)

I forhold til dit spørgsmål: Så skal der sættes minus for $x^3$ . 8 skal forblive uændret. Den korrekte funktion er

$f(x)=-x^3+8$

som du oplyste til at starte med.

Brugbart svar (0)

Svar #9
11. oktober 2017 af mathon

$\small \small \small A_M=\int _{0}^{2}\left ( -x^3+8 \right )\mathrm{d}x=\left [- \tfrac{1}{4}x^4+8x \right ]_0^2=-\tfrac{1}{4}\cdot 2^4+8\cdot 2=-4+16=12$

Svar #10
11. oktober 2017 af gabiglos

Okay super så der hvor der stod før plus foran x^3 skal bare ændres til - nu i alle ikk?

Brugbart svar (0)

Svar #11
11. oktober 2017 af Craoder (Slettet)

Præcis! Bemærk dog også i min forrige kommentar #8, at der også der sker en ændring på højre side af lighedstegnet.

Fra

$\int (x^3)dx=\frac{x^4}{4}$

til

$\int (-x^3)dx=\frac{-x^4}{4}$

Svar #12
11. oktober 2017 af gabiglos

Okay perfekt tusind tusind tak!!! :)

Skriv et svar til: Bestem arealet af M

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.