Matematik

Størst logistisk væksthastighed

28. marts 2018 af NHLfan - Niveau: A-niveau

I min lærebog står der, at den logistiske vækstfunktion har størst vækstfunktion når y = (1/2) * (b/a)

Der er dog ikke en reel begrundelse for hvorfor det er sådan.

Ville bare høre om der måske er nogle, som kan hjælpe mig med at tolke på hvorfor der er maksimum der.

Mange tak på forhånd.

Brugbart svar (1)

Svar #1
28. marts 2018 af sjls

Den logistiske differentialligning, som den logistiske vækstfunktion er en løsning til, kan skrives som

$y'=ky(m-y)=kmy-ky^2=by-ay^2$

hvilket er et andengradspolynomium i y med toppunktet som globalt maksimum, og toppunktet findes - grundet symmetribetragtninger - mellem polynomiets to rødder, som er henholdsvis $y=0$ og $y=\frac{b}{a}$ . Derfor forefindes den største væksthastighed ved $y=\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}=\frac{1}{2}m$ .

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. marts 2018 af AMelev

Se evt. vedhæftede.

Vedhæftet fil:Logistisk vækst_Egenskaber_AM.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. marts 2018 af mathon

eller
$\small \textup{st\o rst v\ae ksthastighed}$ $\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$
$\small \textup{kr\ae ver bl.a.}$
$\small \frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}=0$

$\small \frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\cdot (b-ay)+y\cdot -\left (a\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \right )=0$

$\small \frac{\mathrm{d} ^2y}{\mathrm{d} x^2}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\cdot (b-2ay)=0\; \; \; \; \; \tfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}>0$

$\small \textup{dvs}$
$\small b-2ay=0$

$\small 2ay=b$

$\small y=\tfrac{1}{2}\tfrac{b}{a}$
$\small \textup{samt:}$
$\small y=\frac{\tfrac{b}{a}}{1+Ce^{-bx}}$

Skriv et svar til: Størst logistisk væksthastighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.