Matematik

Algebra, sigma-algebra, Borel mængde osv.

02. juli kl. 11:31 af JohnForbesNash - Niveau: Universitet/Videregående

Okay... Så vidt jeg ved, så er en algebra \mathfrak{A} på en mængde X givet ved

\\ X\in\mathfrak{A}\\ A\in\mathfrak{A}\Rightarrow A^c\in \mathfrak{A}\\ A_1,A_2,...,A_n\in\mathfrak{A}\Rightarrow \bigcup_{m=1}^{n}A_m\in\mathfrak{A}

For en σ-algebra \mathfrak{S} på en mængde X gælder

\\ X\in\mathfrak{S}\\ A\in\mathfrak{S}\Rightarrow A^c\in \mathfrak{S}\\ A_1,A_2,...\in\mathfrak{S}\Rightarrow \bigcup_{m\in\mathbb{N}}A_m\in\mathfrak{S}

Ok... Forskellen er tilsyneladende den sidste betingelse.

Jeg ser der også står:
• En mængde A er endelig hvis der er en bijektion fra {1,2,3,...,n} på A.
    - Hvis A ikke er endelig, så er den uendelig.

Vi har også;
• En mængde siges at være tællelig, hvis den er endelig eller der findes en bijektion fra mængden af
  naturlige tal på A.
    - Hvis en mængde ikke er tællelig, så siger vi den er overtællelig.

Ok.... Betingelse 3 for en algebra:
A1, A2,...,An er endelig. Da den er endelig, så er den også tællelig...

Ok... Betingelse 3 for en σ-algebra:
A1,A2,... er uendelig. Den er tællelig eftersom man kan finde en bijektion.

Nu kommer spørgsmålet:

Jeg forstår ikke eksemplet...
---------------------------------------------------------------------------------------------

Lad X være en uendelig mængde og

\mathfrak{A}=\{A\subseteq X: \textrm{enten }A\textrm{ eller }A^c\textrm{ er endelig}\}

Da er \mathfrak{A} en algebra men ikke en σ-algebra...

---------------------------------------------------------------------------------------------

Egentlig har jeg lidt svært ved at forestille mig den mængde. Hvordan viser man egentlig at det er en algebra og ikke en σ-algebra?


Brugbart svar (0)

Svar #1
02. juli kl. 12:14 af Drunkmunky

Bemærk, at den tredje betingelse for at være en algebra er ækvivalent med at vise at hvis A og B ligger i \mathfrak{A} så vil A∪B ligge i \mathfrak{A} (den ene vej er triviel, og hvis du har n mængder i \mathfrak{A}, A1,...,An, så er A1∪A2 i \mathfrak{A}, og derfor er (A1∪A2)∪A3 i \mathfrak{A} osv., så du ender med at foreningen af de n elementer er i algebraen). Så lad A,B\in\mathfrak{A}. Der er fire muligheder. Hvis både A og B er endelige er det klart, at A∪B ligger i \mathfrak{A}. Hvis A er endelig og X\B er endelig så husker vi på mængdeidentiteten X\backslash(A\cup B)=(X\backslash A)\cap(X\backslash B), som viser at X\(A∪B) er endelig, thi X\B er. Tilsvarende hvis X\A er endelig og B endelig. Til sidst er muligheden hvor X\A og X\B er endelig. Fra ovenstående identitet følger det klart, at så er X\(A∪B) også endelig, og vi har vist, at \mathfrak{A} er en algebra (de to andre betingelser er trivielt opfyldt).

Jeg tror, at dit eksempel kræver, at vi vælger en tællelig mængde X, så jeg har valgt at betragte X=\mathbb{N}. For at se, at \mathfrak{A} ikke er en sigma-algebra skal vi bare finde tælleligt mange mængder, hvis union ikke er i \mathfrak{A}. For hvert n lader vi A_{n}=\lbrace 2n\rbrace. Så er det klart, at A_{n}\in\mathfrak{A} for alle n, thi det er en endelig mængde. Vi ser da, at

A=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\lbrace 2,4,6,8,\ldots\rbrace

altså er A alle de positive lige tal, som bestemt ikke er en endelig mængde, og X\A er jo alle de positive ulige tal, som heller er ikke en endelig mængde. Derfor er A ikke en del af \mathfrak{A}, og dermed kan \mathfrak{A} ikke være en sigma-algebra. Jeg ved ikke om det kan vises generelt for alle uendelige mængder at \mathfrak{A} ej er en sigma-algebra, men som du kan se kan du gøre det i ovenstående tilfælde, så i hvert fald er det ikke altid en sigma-algebra (men da de naturlige tal er i bijektion med alle tællelige uendelige mængder, så virker ovenstående jo også for de mængder).


Svar #2
02. juli kl. 13:29 af JohnForbesNash

Beklager jeg nok gentager meget af det...

Bemærk, at den tredje betingelse for at være en algebra er ækvivalent med at vise at hvis A og B ligger i \mathfrak{A}så vil A∪B ligge i \mathfrak{A} (den ene vej er triviel, og hvis du har n mængder i \mathfrak{A}, A1,...,An, så er A1∪A\mathfrak{A}, og derfor er (A1∪A2)∪A3 i \mathfrak{A} osv., så du ender med at foreningen af de n elementer er i algebraen).

Ja... Okay... Det kan jeg godt se.. :)

 Så lad A,B\in\mathfrak{A}. Der er fire muligheder. Hvis både A og B er endelige er det klart, at A∪B ligger i \mathfrak{A}. Hvis A er endelig og X\B er endelig så husker vi på mængdeidentiteten X\backslash(A\cup B)=(X\backslash A)\cap(X\backslash B), som viser at X\(A∪B) er endelig, thi X\B er. Tilsvarende hvis X\A er endelig og B endelig. Til sidst er muligheden hvor X\A og X\B er endelig. Fra ovenstående identitet følger det klart, at så er X\(A∪B) også endelig, og vi har vist, at \mathfrak{A} er en algebra (de to andre betingelser er trivielt opfyldt).

Du skriver at A og B kan være endelig og derfor ved anvendelse af betingelse 3

A,B\in \mathfrak{A}\Rightarrow A\cup B\in \mathfrak{A}

Den anden mulighed er A er endelig og Bc er endelig. Du anvender mængde identiteten (de Movres lov)

(A\cup B)^c = A^c \cap B^c

Du siger at foreningen af A (endelig) og B (endelig eller potentielt uendelig) er endelig?
De Movres lov siger så at fællesmængden af Ac (endelig eller potentielt uendelig) og Bc er endelig?

Så benytter du at Ac kan være endelig og B er endelig - og samme argumentation.

Sidst siger du at hvis Ac og Bc er endelig, så er A og B også endelige??

Det forstår jeg ikke så meget af... For hvis hvis vi har X = N. Vi lader A = {1} og (X\B) = {2} som er klart endelige og tællelige. Så er X\(A∪B) = {3,4,5,6,...} endelig? (Her kan jeg jo se den er uendelig og tællelig). Jeg tror jeg glipper noget vigtigt...

- - -

Mvh Dennis Svensson


Svar #3
02. juli kl. 13:43 af JohnForbesNash

Hov....

Vi har jo netop at A∪B = {1}∪{1,3,4,5,...} = {1,3,4,5,6,7,...}, så er X\(A∪B) = {2} som er endelig...

- - -

Mvh Dennis Svensson


Svar #4
02. juli kl. 14:07 af JohnForbesNash

Ok... Jeg ser at jeg har forstået det nu ;)

Tusind mange tak :D

- - -

Mvh Dennis Svensson


Brugbart svar (1)

Svar #5
02. juli kl. 15:29 af Drunkmunky

Ja, jeg var måske lidt for kort på det punkt, men der gælder generelt, at for to mængder A og B, så vil A∩B⊆A og A∩B⊆B, så i vores tilfælde ligger de begge enten i den endelige delmændge X\A eller den endelige delmængde X\B (kommer an på tilfældet), og derfor må de jo være endelige mængder :)


Skriv et svar til: Algebra, sigma-algebra, Borel mængde osv.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.