Matematik

Bevis for rumfang af et cirkelafsnit

20. marts 2019 af HTXMAT - Niveau: A-niveau

Hej, nogle som kender beviset for rumfanget for et cirkelafsnit?

Brugbart svar (0)

Svar #1
20. marts 2019 af ringstedLC

Rumfanget af et kugleafsnit eller arealet af et cirkelafsnit?

Brugbart svar (0)

Svar #2
20. marts 2019 af mathon

Hvis
Rumfanget af et kugleafsnit.

Indlæg en halvcirkel med radius r og centrum (r,0) i 1. kvadrant:

$\small (x-r)^2+y^2=r^2\qquad y\geq 0\qquad 0<x\leq 2r$

$\small y^2=r^2-(x-r)^2=2rx-x^2$
En 360° drejning om x-aksen af halvcirkelafsnittet $y=\sqrt{2rx-x^2}$ giver rumfanget af
cirkelafsnittet med højden h:

$\small{\color{Red} \mathbf{V_{kug leaf\! snit}}}=\pi \cdot \int_{0}^{h}y^2\mathrm{d}x=\pi \cdot \int_{0}^{h}\left (2rx-x^2 \right )\mathrm{d}x=\pi \cdot \left [ r\cdot x^2-\tfrac{1}{3}\cdot x^3 \right ]_{0}^{h}=$

$\small \pi \cdot \left ( r\cdot h^2-\tfrac{1}{3}\cdot h^3 \right )={\color{Red} \mathbf{\tfrac{\pi }{3}\cdot h^2\cdot \left ( 3r-h \right )}}$

kontrol:
For $h=2r$ skal udtrykket give helkuglens rumfang,
hvilket efterprøves:

$\small V_{kugle}=\tfrac{\pi }{3}\cdot (2r)^2\cdot \left ( 3r-2r \right )=\tfrac{\pi }{3}\cdot 4r^2\cdot r=\tfrac{4}{3}\pi r^3$

Skriv et svar til: Bevis for rumfang af et cirkelafsnit

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.