Matematik

Differentiering af sammensat funktion og produkt af fuktioner

24. oktober 2019 af Kbrondby - Niveau: Universitet/Videregående

Hej,

Jeg skal differentiere:

y''(t) = cos(Pi*y(t)) * (Pi*y't(t)) + 1

og jeg er gået i står her:

y'''(t) = -sin(Pi*y(t)) * (y(t) + Pi * y'(t)) * jeg kan ikke finde ud af hvad der skal stå efterfølgende.

Skal man bruge produkt reglen for cos(Pi*y(t)) og (Pi*y(t))?

Så der kommer til at stå:

y'''(t) = -sin(Pi*y(t) * (y(t) + Pi * y'(t)) * (-cos(Pi*y(t)) * (Pi*y'(t) + cos(Pi*y(t))*(y''(t))

Jeg håber det giver mening :)


Brugbart svar (1)

Svar #1
24. oktober 2019 af AMelev

Ser den sådan ud? y''(t)=cos(\pi \cdot (y(t))\cdot \pi \cdot y'(t)+1

y'''(t)=(cos(\pi \cdot (y(t)))'\cdot( \pi \cdot y'(t))+(cos(\pi \cdot (y(t))\cdot ( \pi \cdot y'(t))'=
-sin(\pi \cdot (y(t))\cdot( \pi \cdot y'(t))^2+cos(\pi \cdot (y(t))\cdot ( \pi \cdot y''(t))

Det er nok en dårlig ide at forsøge at lave det hele på én gang. Først produktreglen og så kædereglen, hvor den skal bruges.


Svar #2
24. oktober 2019 af Kbrondby

Ja, det gør den.

Jeg har dog sat parantes om: Pi * y'(t)

Jeg prøver at kigge på din løsning og forstår det - tak :)


Svar #3
24. oktober 2019 af Kbrondby

Jeg startede med:

y'(t) = sin(\pi * y(t)) + 1

Den differentieret jeg og fik:

y''(t) = cos(\pi * y(t)) *( \pi * y'(t)) + 1

Jeg er i tvivl om der skal være parantes omkring:

\pi * y'(t)

Skal der det?


Brugbart svar (1)

Svar #4
25. oktober 2019 af AMelev

Du behøver ikke parentesen, men det kan være smart nok at have den, så det er lettere at holde de to faktorer adskilt. Det vil måske være endnu mere overskueligt, hvis du bruger kantet parentes til at adskille dem.
y''(t) = \left [cos(\pi * y(t)) \right ]*\left [ \pi * y'(t) \right ] {\color{Red} + 1}

Til gengæld har du lige glemt, at (1)' = 0.


Svar #5
25. oktober 2019 af Kbrondby

Du har ret - tak for tippet ift. firkantet paranteser.

Jeg har lavet en skrive fejl og det var "t" i stedet for "1", så det er derfor at jeg har skrevet "1" som sidste led i y''(t)


Svar #6
26. oktober 2019 af Kbrondby

Jeg har lige et spørgsmål, som jeg håber du kan svare på.

Først differentierer jeg efter produktreglen og får:

[y'''(t) = [-sin(\pi * y(t))*(\pi * y'(t))] + [cos(\pi * y(t))*(\pi * y''(t))]]

Nu skal jeg differentierer den sammensatte funktion [cos(\pi *y(t))] og får:

[-sin(\pi * y(t)) * (\pi * y'(t))]

Jf. dit resultat, så får du [(\pi * y'(t))^2]

Når du differentierer [cos(\pi *y(t))] , hvorfor ganger du ikke hele den differentieret funktion ind, altså [-sin(\pi * y(t)) * (\pi * y'(t))] ?

Hvorfor ganger du  kun [(\pi * y'(t))] ind og får [(\pi * y'(t))^2] ?

Hvorfor ganger du ikke også [-sin(\pi * y(t))] ind? - er det fordi den er allerede blevet differentieret ved produktreglen?


Brugbart svar (0)

Svar #7
26. oktober 2019 af AMelev

Jeg er ikke helt sikker på, at jeg forstår dit spørgsmål.

Det er jo et produkt af 3 faktorer. a·b·b = a·b2


Svar #8
26. oktober 2019 af Kbrondby

Jeg forstår bare ikke hvor du får (\pi * y'(t))^2 fra og hvorfor du ikke får [-sin(\pi*y(t))]^2.

Først differentierer jeg ud fra produktreglen.

Jeg differentierer:

y''(t)=[cos(\pi*y(t))]*[(\pi*y'(t))]

og får

[-sin(\pi*y(t))*(\pi*y'(t))]+[cos(\pi * y(t))*(\pi*y''(t))]

Nu differentierer jeg ud fra kædereglen.

Jeg differentierer:

[cos(\pi*y(t))]

og får

[-sin(\pi*y(t))*(\pi*y'(t))]

Nu har jeg følgende to differentieret udtryk:

[-sin(\pi*y(t))*(\pi*y'(t))]+[cos(\pi * y(t))*(\pi*y''(t))]

og

[-sin(\pi*y(t))*(\pi*y'(t))]

I ovenstående to udtryk har jeg

[-sin(\pi*y(t))] to gange

og

[\pi*y'(t)] to gange

Hvorfor er det du kun skriver [\pi*y'(t)] opløftet i anden og ikke også [-sin(\pi*y(t))] opløftet i anden?

- det er det jeg ikke forstår.


Brugbart svar (0)

Svar #9
26. oktober 2019 af AMelev

y'''(t)={\color{Blue} {(cos(\pi \cdot (y(t)))'}}\cdot( {\color{Red} \pi \cdot y'(t)})+(cos(\pi \cdot (y(t))\cdot ( \pi \cdot y'(t))'=
{\color{Blue} -sin(\pi \cdot (y(t))\cdot(\pi \cdot y'(t))}\cdot( {\color{Red} \pi \cdot y'(t)})+ (cos(\pi \cdot (y(t))\cdot ( \pi \cdot y'(t))'= ...

#8

Først differentierer jeg ud fra produktreglen.

Jeg differentierer:

y''(t)=[cos(\pi*y(t))]*[(\pi*y'(t))]

og får

[{\color{Red} -sin(\pi*y(t))}{\color{Green} (cos(\pi*y(t)))'}*\mathbf{(\pi*y'(t))}]+[cos(\pi * y(t))*(\pi*y''(t))]

Nu differentierer jeg ud fra kædereglen.

Jeg differentierer:

[cos(\pi*y(t))] og får [-sin(\pi*y(t))*(\pi*y'(t))] Korrekt.

Nu har jeg følgende to differentieret udtryk:

[-sin(\pi*y(t))*(\pi*y'(t))]+[cos(\pi * y(t))*(\pi*y''(t))] Her har du glemt \mathbf{*(\pi*y'(t))]}

Slut - du er færdig her.

Jeg tror, det går galt, fordi du deler dit udtryk op i småbidder og så glemmer du noget, når du skal samle igen. Tag hele udtrykket med hele vejen - du kan jo bare copy/paste det, du ikke har gjort noget ved.


Skriv et svar til: Differentiering af sammensat funktion og produkt af fuktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.