Matematik

Integration ved substitution - ubestemte integraler

12. november kl. 17:38 af SofieAmalieJensen - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har fået givet følgende opgave (se vedhæftet), hvor jeg skal bestemme integralerne. Jeg ville bare spørge om nogen kunne hjælpe mig med hvad der er den indre funktion g(x) i 5. og 6.? 

Jeg tænkte at det i 6'ern muligvis kunne være x^2-4, men i 5'ern ved jeg ikke om man bare selv kan bestemme hvilken en der er den indre?

Tak på forhånd.


Brugbart svar (1)

Svar #1
12. november kl. 18:04 af peter lind


Brugbart svar (1)

Svar #2
12. november kl. 18:08 af Bibo53

Ja, du kan bruge substitutionen t=x^2-4. Da

\frac{dt}{dx}=2x,

er dt=2x\,dx, og dermed er 6x\,dx=3\,dt.

I opgave 5 kan du bruge substitutionen t=\cos x.


Brugbart svar (1)

Svar #3
12. november kl. 18:09 af peter lind

5 t = cos(x)  dt =-sin(x)dx

6. t = x2-4  dt=2xdx


Svar #4
12. november kl. 18:39 af SofieAmalieJensen

Okay tusind tak:)


Svar #5
12. november kl. 18:45 af SofieAmalieJensen

#2
#3

Hvis cos(x) er den indre, hvad er egentlig så den ydre funktion i 5? Jeg kan ikke helt få det til at give mening. Er det cos(x)*tan(x)? 

Og i 6'ern kan den ydre funktion så være (10-x^2)/x?


Brugbart svar (1)

Svar #6
12. november kl. 18:54 af Bibo53

Vi kan sige, at den indre funktion er y=\cos x, og den ydre er z=y^2. Det er dog ikke så vigtigt. Det væsentlige er, at t=\cos x og dt=-\sin x\,dx.


Svar #7
12. november kl. 20:13 af SofieAmalieJensen

#6

Vi kan sige, at den indre funktion er y=\cos x, og den ydre er z=y^2. Det er dog ikke så vigtigt. Det væsentlige er, at t=\cos x og dt=-\sin x\,dx.

hmm ja okay, kan det passe at intergralet i 1'ern bliver F(g(x))+k=9(2x+7)^8+k? Ellers tror jeg at jeg skal læse op på det igen.


Brugbart svar (1)

Svar #8
12. november kl. 20:22 af peter lind

det er forkert brug t=2x+7  dt = 2dx


Svar #9
12. november kl. 20:33 af SofieAmalieJensen

#8

det er forkert brug t=2x+7  dt = 2dx

Det har jeg også brugt, se vedhæftet. Kan du hjælpe mig med hvad det er jeg gør forkert i de sidste linjer?


Brugbart svar (1)

Svar #10
12. november kl. 20:41 af Bibo53

\int(2x+7)^9\,dx=\frac{1}{2}\int(2x+7)^9\cdot 2\,dx=\frac{1}{2}\int t^9\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10}t^{10}+k=\frac{1}{20}(2x+7)^{10}+k

Du må ikke bare fjerne en gange-konstant. Den skal blive stående. Du bytter også om på differentiation og integration.


Svar #11
12. november kl. 21:54 af SofieAmalieJensen

#10

\int(2x+7)^9\,dx=\frac{1}{2}\int(2x+7)^9\cdot 2\,dx=\frac{1}{2}\int t^9\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10}t^{10}+k=\frac{1}{20}(2x+7)^{10}+k

Du må ikke bare fjerne en gange-konstant. Den skal blive stående. Du bytter også om på differentiation og integration.

Nåå okay, tusind tak igen!:)


Svar #12
12. november kl. 22:11 af SofieAmalieJensen

#10

Hvordan integreres 1/2x? Skal det integreres til ln(numeriske værdi af 2x) eller kan man omskrive 1/2x til 1/2*x^-1 og integrere til 1/2*-1?


Brugbart svar (1)

Svar #13
12. november kl. 22:17 af peter lind

Hvorfra får du at du skal integrere ½x ?


Svar #14
12. november kl. 22:26 af SofieAmalieJensen

#13

Hvorfra får du at du skal integrere ½x ?

I opgave 2, se vedvæftet


Brugbart svar (1)

Svar #15
12. november kl. 23:11 af Bibo53

Det er korrekt at benytte substitutionen t=x^2+4, men du må ikke flytte \frac{1}{2x} uden for integraltegnet. Der gælder

\int 2x\sqrt{t}\cdot\frac{1}{2x}\,dt=\int\sqrt{t}\,dt.

Når du har lavet en substitution, skulle den gamle variabel gerne forsvinde helt fra integralet. Ellers må du finde på en anden substitution.


Svar #16
12. november kl. 23:32 af SofieAmalieJensen

#15

Det er korrekt at benytte substitutionen t=x^2+4, men du må ikke flytte \frac{1}{2x} uden for integraltegnet. Der gælder

\int 2x\sqrt{t}\cdot\frac{1}{2x}\,dt=\int\sqrt{t}\,dt.

Når du har lavet en substitution, skulle den gamle variabel gerne forsvinde helt fra integralet. Ellers må du finde på en anden substitution.

Ok, men jeg forstår ikke helt hvordan man bare kan fjerne 2x og 1/(2x)? 

Kan man muligvis erstatte variablen x med t i det du har skrevet før lighedstegnet?


Brugbart svar (1)

Svar #17
13. november kl. 09:23 af mathon

\small \begin{array}{llllll} 5.&&\int \cos^2(x)\cdot \sin(x)\, \mathrm{d}x\\\\ &\textup{her s\ae ttes}&t=\cos(x)\quad \textup{og dermed}\quad -\mathrm{d}t=\sin(x) \mathrm{d}x\\\\ &&\int \cos^2(x)\cdot \sin(x)\, \mathrm{d}x\\\\ &&-\int t^2\cdot \mathrm{d}t\\\\ &&-\frac{1}{3}t^3+k=-\frac{1}{3}\cos^3(x)+k\\\\ \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #18
13. november kl. 09:36 af mathon

\small \small \begin{array}{llllll} 6.&&\int\frac{6x}{x^2-4}\, \mathrm{d}x=\int\frac{1}{x^2-4}\, 6 \mathrm{d}x\\\\ &\textup{her s\ae ttes}&t=x^2-4\quad \textup{og dermed}\quad 3\mathrm{d}t=6 \mathrm{d}x\\\\ &&\int\frac{1}{x^2-4}\, 6 \mathrm{d}x=\\\\ &&3\int \frac{1}{t}\cdot \mathrm{d}t\\\\ &&3\cdot \ln\left | t \right |+k=3\cdot \ln\left | x^2-4 \right |+k \end{array}


Svar #19
13. november kl. 21:01 af SofieAmalieJensen

#18

\small \small \begin{array}{llllll} 6.&&\int\frac{6x}{x^2-4}\, \mathrm{d}x=\int\frac{1}{x^2-4}\, 6 \mathrm{d}x\\\\ &\textup{her s\ae ttes}&t=x^2-4\quad \textup{og dermed}\quad 3\mathrm{d}t=6 \mathrm{d}x\\\\ &&\int\frac{1}{x^2-4}\, 6 \mathrm{d}x=\\\\ &&3\int \frac{1}{t}\cdot \mathrm{d}t\\\\ &&3\cdot \ln\left | t \right |+k=3\cdot \ln\left | x^2-4 \right |+k \end{array}

Okay super, jeg tror jeg er med nu. Kan det passe at 3) er således, se vedhæftet.


Brugbart svar (1)

Svar #20
13. november kl. 22:05 af Bibo53

#16 Fordi

2x\cdot\frac{1}{2x}=\frac{2x}{2x}=1.

Du gør det mere kompliceret, end det er. Efter at have lavet substitutionen t=x^2+4 har du omskrevet

\frac{dt}{dx}=2x

til

dx=\frac{1}{2x}\,dt,

men det havde været bedre, hvis du havde omskrevet det til dt=2x\,dx. Vi får så

\int 2x\sqrt{x^2+4}\,dx=\int\sqrt{t}\,dt=\frac{2}{3}t\sqrt{t}+k=\frac{2}{3}\left(x^2+4\right)\sqrt{x^2+4}+k.


Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.