Matematik

Integration ved substitution - ubestemte integraler

12. november 2019 af SofieAmalieJensen - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har fået givet følgende opgave (se vedhæftet), hvor jeg skal bestemme integralerne. Jeg ville bare spørge om nogen kunne hjælpe mig med hvad der er den indre funktion g(x) i 5. og 6.? 

Jeg tænkte at det i 6'ern muligvis kunne være x^2-4, men i 5'ern ved jeg ikke om man bare selv kan bestemme hvilken en der er den indre?

Tak på forhånd.


Brugbart svar (1)

Svar #1
12. november 2019 af peter lind


Brugbart svar (1)

Svar #2
12. november 2019 af Bibo53

Ja, du kan bruge substitutionen t=x^2-4. Da

\frac{dt}{dx}=2x,

er dt=2x\,dx, og dermed er 6x\,dx=3\,dt.

I opgave 5 kan du bruge substitutionen t=\cos x.


Brugbart svar (1)

Svar #3
12. november 2019 af peter lind

5 t = cos(x)  dt =-sin(x)dx

6. t = x2-4  dt=2xdx


Svar #4
12. november 2019 af SofieAmalieJensen

Okay tusind tak:)


Svar #5
12. november 2019 af SofieAmalieJensen

#2
#3

Hvis cos(x) er den indre, hvad er egentlig så den ydre funktion i 5? Jeg kan ikke helt få det til at give mening. Er det cos(x)*tan(x)? 

Og i 6'ern kan den ydre funktion så være (10-x^2)/x?


Brugbart svar (1)

Svar #6
12. november 2019 af Bibo53

Vi kan sige, at den indre funktion er y=\cos x, og den ydre er z=y^2. Det er dog ikke så vigtigt. Det væsentlige er, at t=\cos x og dt=-\sin x\,dx.


Svar #7
12. november 2019 af SofieAmalieJensen

#6

Vi kan sige, at den indre funktion er y=\cos x, og den ydre er z=y^2. Det er dog ikke så vigtigt. Det væsentlige er, at t=\cos x og dt=-\sin x\,dx.

hmm ja okay, kan det passe at intergralet i 1'ern bliver F(g(x))+k=9(2x+7)^8+k? Ellers tror jeg at jeg skal læse op på det igen.


Brugbart svar (1)

Svar #8
12. november 2019 af peter lind

det er forkert brug t=2x+7  dt = 2dx


Svar #9
12. november 2019 af SofieAmalieJensen

#8

det er forkert brug t=2x+7  dt = 2dx

Det har jeg også brugt, se vedhæftet. Kan du hjælpe mig med hvad det er jeg gør forkert i de sidste linjer?


Brugbart svar (1)

Svar #10
12. november 2019 af Bibo53

\int(2x+7)^9\,dx=\frac{1}{2}\int(2x+7)^9\cdot 2\,dx=\frac{1}{2}\int t^9\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10}t^{10}+k=\frac{1}{20}(2x+7)^{10}+k

Du må ikke bare fjerne en gange-konstant. Den skal blive stående. Du bytter også om på differentiation og integration.


Svar #11
12. november 2019 af SofieAmalieJensen

#10

\int(2x+7)^9\,dx=\frac{1}{2}\int(2x+7)^9\cdot 2\,dx=\frac{1}{2}\int t^9\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{10}t^{10}+k=\frac{1}{20}(2x+7)^{10}+k

Du må ikke bare fjerne en gange-konstant. Den skal blive stående. Du bytter også om på differentiation og integration.

Nåå okay, tusind tak igen!:)


Svar #12
12. november 2019 af SofieAmalieJensen

#10

Hvordan integreres 1/2x? Skal det integreres til ln(numeriske værdi af 2x) eller kan man omskrive 1/2x til 1/2*x^-1 og integrere til 1/2*-1?


Brugbart svar (1)

Svar #13
12. november 2019 af peter lind

Hvorfra får du at du skal integrere ½x ?


Svar #14
12. november 2019 af SofieAmalieJensen

#13

Hvorfra får du at du skal integrere ½x ?

I opgave 2, se vedvæftet


Brugbart svar (1)

Svar #15
12. november 2019 af Bibo53

Det er korrekt at benytte substitutionen t=x^2+4, men du må ikke flytte \frac{1}{2x} uden for integraltegnet. Der gælder

\int 2x\sqrt{t}\cdot\frac{1}{2x}\,dt=\int\sqrt{t}\,dt.

Når du har lavet en substitution, skulle den gamle variabel gerne forsvinde helt fra integralet. Ellers må du finde på en anden substitution.


Svar #16
12. november 2019 af SofieAmalieJensen

#15

Det er korrekt at benytte substitutionen t=x^2+4, men du må ikke flytte \frac{1}{2x} uden for integraltegnet. Der gælder

\int 2x\sqrt{t}\cdot\frac{1}{2x}\,dt=\int\sqrt{t}\,dt.

Når du har lavet en substitution, skulle den gamle variabel gerne forsvinde helt fra integralet. Ellers må du finde på en anden substitution.

Ok, men jeg forstår ikke helt hvordan man bare kan fjerne 2x og 1/(2x)? 

Kan man muligvis erstatte variablen x med t i det du har skrevet før lighedstegnet?


Brugbart svar (1)

Svar #17
13. november 2019 af mathon

\small \begin{array}{llllll} 5.&&\int \cos^2(x)\cdot \sin(x)\, \mathrm{d}x\\\\ &\textup{her s\ae ttes}&t=\cos(x)\quad \textup{og dermed}\quad -\mathrm{d}t=\sin(x) \mathrm{d}x\\\\ &&\int \cos^2(x)\cdot \sin(x)\, \mathrm{d}x\\\\ &&-\int t^2\cdot \mathrm{d}t\\\\ &&-\frac{1}{3}t^3+k=-\frac{1}{3}\cos^3(x)+k\\\\ \end{array}


Brugbart svar (1)

Svar #18
13. november 2019 af mathon

\small \small \begin{array}{llllll} 6.&&\int\frac{6x}{x^2-4}\, \mathrm{d}x=\int\frac{1}{x^2-4}\, 6 \mathrm{d}x\\\\ &\textup{her s\ae ttes}&t=x^2-4\quad \textup{og dermed}\quad 3\mathrm{d}t=6 \mathrm{d}x\\\\ &&\int\frac{1}{x^2-4}\, 6 \mathrm{d}x=\\\\ &&3\int \frac{1}{t}\cdot \mathrm{d}t\\\\ &&3\cdot \ln\left | t \right |+k=3\cdot \ln\left | x^2-4 \right |+k \end{array}


Svar #19
13. november 2019 af SofieAmalieJensen

#18

\small \small \begin{array}{llllll} 6.&&\int\frac{6x}{x^2-4}\, \mathrm{d}x=\int\frac{1}{x^2-4}\, 6 \mathrm{d}x\\\\ &\textup{her s\ae ttes}&t=x^2-4\quad \textup{og dermed}\quad 3\mathrm{d}t=6 \mathrm{d}x\\\\ &&\int\frac{1}{x^2-4}\, 6 \mathrm{d}x=\\\\ &&3\int \frac{1}{t}\cdot \mathrm{d}t\\\\ &&3\cdot \ln\left | t \right |+k=3\cdot \ln\left | x^2-4 \right |+k \end{array}

Okay super, jeg tror jeg er med nu. Kan det passe at 3) er således, se vedhæftet.


Brugbart svar (1)

Svar #20
13. november 2019 af Bibo53

#16 Fordi

2x\cdot\frac{1}{2x}=\frac{2x}{2x}=1.

Du gør det mere kompliceret, end det er. Efter at have lavet substitutionen t=x^2+4 har du omskrevet

\frac{dt}{dx}=2x

til

dx=\frac{1}{2x}\,dt,

men det havde været bedre, hvis du havde omskrevet det til dt=2x\,dx. Vi får så

\int 2x\sqrt{x^2+4}\,dx=\int\sqrt{t}\,dt=\frac{2}{3}t\sqrt{t}+k=\frac{2}{3}\left(x^2+4\right)\sqrt{x^2+4}+k.


Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.