Spørgsmål om tangenter og vektorer

En tangent er en ret linje. Den har en retningsvektor. Tangenten kan ikke forveksles med en vektor.

Okay, men kan tangenter være stykkevis rette linjer?

Der kan være tale om linjestykker af en tangent dvs med definitionrestriktion.

Nej. En tangent er en ret linje, defineret af sit røringspunkt og en hældning. En vektor er en retning og en længde. Hældning og retning har visse ligheder, men vektoren er ikke "tøjret" til et punkt som tangenten, der så til gengæld ikke har en længde.

En vektor er en mængde af parallelle, ækvidistante linjestykker med samme orienering/retning.

# 0
Måske har du - en parameterfremstilling  af en partikels bane - i tankerne, hvor
partiklens hastighed og acceleration til tiden t er henholdsvis   og  .   

# 6

Faktisk tænkte jeg ikke på en parameterfremstilling/vektorfunktioner, men mere ... overordnet? Sagen er, at jeg prøver at kæde to ting sammen der kommer fra hver deres område i matematik. Tangenter har jeg lært i forbindelse med differentialregning/funktioner. Vektorer har hidtil været et isoleret emne indtil jeg mødte det i fysik (mht. mekanik), og nu også i et andet emne - differentialligninger - i forbindelse med at tegne retningsfelter.

Når jeg tegner et retningsfelt, så består det af en masse linjestykker (i et koordinatsystem - hvor man kan tale om orientering og afstand/længde). Jeg tænker om disse er ikke bare er repræsentater for VEKTORER. Hvis linjestykkerne har en længde og en orientering, så må der være en forbindelse mellem emnet vektorer og differentialligninger.

Der er forskel på en ret linje/tangent og et linjestykke, der som navnet siger, kun er et stykke af en ret linje.

Linjestykket har en længde, en retning/orientering som vektoren og sine start- og slutpunkter, og kan ses som en repræsentant for en vektor.

Tangenten har ingen længde og kan derfor ikke være en repræsentant for en vektor.

I retningsfeltet tegnes tangenterne dog som linjestykker, da feltet ellers ville blive ulæseligt.

Når jeg tænker på en tangent, så forbinder jeg den med en lang ret linje, men strider det imod definitionen for en tangent, hvis den er kort? Hvad er det i definitionen for en tangent, der gør at den ikke har en længde?

Det vigtigste for en tangent er at være beliggende i en omegn af berøringspunktet. Omegnen kan
gøres vilkårlig lille. Tangentens længde tilpasses normalt den kurve, den tilhører.
En "lille" tangent finder vi f.eks. som et linjeelement i forbindelse med anskueliggørelsen af løsninger
til en differentialligning.
 

... ikke bare en laang ret linje, men uendelig lang ret linje. Og da længden "uendelig" ikke kan beregnes, siger vi, at den rette linje ikke har en længde. Der er ikke nogen egentlig definition på en tangent. Den er en ret linje, der går gennem/rører/tangerer en graf eller en figur i ét punkt (x₀,f(x₀)):

For øvrigt har alle punkterne på en ret linje (og et linjestykke) en tangent, der er sammenfaldende med linjen. Derfor har diff.-ligningen:

men der er selvfølgelig ikke så megen udfordring i at lave de tangenter.

Tusind tak for de meget detaljeret svar. Men jeg tror jeg har fundet svaret til mit spørgsmål. Takket være en uni-studerende, så søgte jeg på ordet vector field og differential equations. Jeg fandt så en side i Wikipedea. Har ikke 100% forstået indholdet, men siden omtaler en forbindelse mellem en retningsfelt med linjestykkerne, der så er vektorer.

Endnu en gang til jer begge.