Matematik

(x^2+xy+y^2)/x. Hvordan kan det være at der skal bruges homogen ikke linære diffirentialigning

06. april kl. 12:05 af Amalie1234324 - Niveau: A-niveau

(x^2+xy+y^2)/x. Hvordan kan det være at der skal bruges homogen ikke linære diffirentialigning her, når kriterien er at man skal have formen y´= f(x,y)/g(x,y), men her har vi kun x i nævneren og ingen y?


Brugbart svar (0)

Svar #1
06. april kl. 12:11 af janhaa

(x+y)^2-xy=x^2+xy+y^2


Brugbart svar (0)

Svar #2
06. april kl. 12:11 af mathon

Hvad er spørgsmålet præcist?


Brugbart svar (0)

Svar #3
06. april kl. 13:05 af BirgerBrosa

Amalie, du er håbløst forvirret.


Svar #4
06. april kl. 13:20 af Amalie1234324

Mit spørgsmål er helt præcist, hvorhvorfor skal den løses med "homogen ikke linære diffirentialigning" til y´=(x^2+xy+y^2)/x fremfor "seperabel variabler": Normalt når en opgave skal løses med  homogen ikke linære diffirentialigning så skal opgaven være i formen  y´= f(x,y)/g(x,y). Men dette er den ikkke. Jeg kan kun se at der er en f(x,y)/g(x)  i y´=(x^2+xy+y^2)/x  og ikke nogen f(x,y)/g(x,y)


Brugbart svar (0)

Svar #5
06. april kl. 13:52 af janhaa

give the whole problem


Svar #6
06. april kl. 14:01 af Amalie1234324

det er bare en opgave som er y´= (x^2+xy+y^2)/x

Hvordan ville du løse den og hvorfor? Vil du bruge seperabel variabler til at løse den eller en anden metode, og hvorfor :)


Brugbart svar (0)

Svar #7
06. april kl. 18:06 af janhaa


Svar #8
06. april kl. 18:15 af Amalie1234324

Det ville jeg også sige, men i klassen har jeg regnet den ud som seperabel variabel sammen med min lærerer.Så jeg er forvirret over hvordan det kunne lade sig gør?


Brugbart svar (0)

Svar #9
06. april kl. 18:35 af janhaa

you need to use a smart substitution:

z = y/x

or

z = xy


Svar #10
06. april kl. 19:18 af Amalie1234324

Jamen det har jeg ikke gjort i klassen. I klassen har jeg løst den som seperabel. Kan den løses på to måder?


Brugbart svar (0)

Svar #11
06. april kl. 20:01 af AMelev

#4

Mit spørgsmål er helt præcist, hvorhvorfor skal den løses med "homogen ikke linære diffirentialigning" til y´=(x^2+xy+y^2)/x fremfor "seperabel variabler": Normalt når en opgave skal løses med  homogen ikke linære diffirentialigning så skal opgaven være i formen  y´= f(x,y)/g(x,y). Men dette er den ikkke. Jeg kan kun se at der er en f(x,y)/g(x)  i y´=(x^2+xy+y^2)/x  og ikke nogen f(x,y)/g(x,y)

g(x,y) = x er en konstant funktion mht. til y. 


Brugbart svar (0)

Svar #12
06. april kl. 20:12 af AMelev

#10 Jeg forstår ikke helt, hvordan du kan bruge separation af variable på den. 
Der er udgangspunktet jo, at y' = g(y)·h(x). Det er vel ikke tilfældet her.


Svar #13
07. april kl. 10:05 af Amalie1234324

Ved du hvordan det kan være at der skal bruges seperabel variabel til denne dy/dt=2+e^y . Den an jo ikke omksrives til g(x)*h(x)?


Brugbart svar (0)

Svar #14
07. april kl. 10:38 af janhaa

#13

Ved du hvordan det kan være at der skal bruges seperabel variabel til denne dy/dt=2+e^y . Den an jo ikke omksrives til g(x)*h(x)?


\int \frac{dy}{2+e^y}=\int dt\\ \\ \frac{1}{e^y}\ln(2+e^y)=t+c\\ \\ \ln(2+e^y)=e^y(t+c)\\ etc...

but again, it's a first order nonlinear ODE

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+dy%2Fdt%3D2%2Be%5Ey+

it's rather a heavy high school ODE problem


Brugbart svar (0)

Svar #15
07. april kl. 11:52 af AMelev

#13 h(x) = 1 og g(y) = 2 + ey.


Brugbart svar (0)

Svar #16
08. april kl. 14:21 af Anders521

#10

Jeg gætter på, at du har skrevet den oprindelige diff-ligning forkert op. Det er ikke y' = (x2+xy+y2)/x men rettere

                                                                       y' = (x2+xy+y2)/x2                 (Θ)

Med f(x,y) = (x2+xy+y2)/x2 er ligningen klar homogen, da for alle reelle tal t gælder, at 

                                     f(t·x,t·y) ( (t·x)2+(t·x)(t·y)+(t·y)2 )/(t·x)2                                                                                                                            = t2·(x2+xy+y2)/t2x2                                                                                                                                                = (x2+xy+y2)/x2                                                                                                                                                      = f(x,y).

Hvis du indfører en ny variabel v = y/x, ( der afhænger af x ), vil du ved omskrivning få y = vx. Brug nu produktreglen, så du får y' = v + x(dv/dx). Diff-ligningen (Θ) kan nu ved substitution skrives som 

                                                          v + x(dv/dx) = ( x2 + x(vx) + (vx)2 )/ x2                                                                                                                                        = ( x2 + x2v + x2v2 )/ x2                                                                                                                                          = x2 (1 + v + v2) / x2                                                                                                                                              1 + v + v2 

Det er nu åbenlyst hvorfor den nye variabel indføres, netop fordi den forenkler ligningen således at potensen x2  'fjernes' i tælleren og nævneren. Arbejder du videre vil du nå frem til flg.:

                                                                          x(dv/dx) = 1 + v2                                                                                                                                                 ∫ dv/(1+v2) = ∫ dx/x           (Φ)                                                             

hvor du kan finde stamfunktionen til udtrykket på højre og venstre (Φ), hvor du kan se at der er blevet brugt seperation af de variable. Til sidst skal du substituere tilbage, idet du jo husker at y = vx.


Skriv et svar til: (x^2+xy+y^2)/x. Hvordan kan det være at der skal bruges homogen ikke linære diffirentialigning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.