(x^2+xy+y^2)/x. Hvordan kan det være at der skal bruges homogen ikke linære diffirentialigning

Hvad er spørgsmålet præcist?

Amalie, du er håbløst forvirret.

Mit spørgsmål er helt præcist, hvorhvorfor skal den løses med "homogen ikke linære diffirentialigning" til y´=(x^2+xy+y^2)/x fremfor "seperabel variabler": Normalt når en opgave skal løses med  homogen ikke linære diffirentialigning så skal opgaven være i formen  y´= f(x,y)/g(x,y). Men dette er den ikkke. Jeg kan kun se at der er en f(x,y)/g(x)  i y´=(x^2+xy+y^2)/x  og ikke nogen f(x,y)/g(x,y)

give the whole problem

det er bare en opgave som er y´= (x^2+xy+y^2)/x

Hvordan ville du løse den og hvorfor? Vil du bruge seperabel variabler til at løse den eller en anden metode, og hvorfor :)

it's a first order nonlinear ODE

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27+%3D+%28x%5E2%2Bxy%2By%5E2%29%2Fx

Det ville jeg også sige, men i klassen har jeg regnet den ud som seperabel variabel sammen med min lærerer.Så jeg er forvirret over hvordan det kunne lade sig gør?

you need to use a smart substitution:

z = y/x

or

z = xy

Jamen det har jeg ikke gjort i klassen. I klassen har jeg løst den som seperabel. Kan den løses på to måder?

#4

Mit spørgsmål er helt præcist, hvorhvorfor skal den løses med "homogen ikke linære diffirentialigning" til y´=(x^2+xy+y^2)/x fremfor "seperabel variabler": Normalt når en opgave skal løses med  homogen ikke linære diffirentialigning så skal opgaven være i formen  y´= f(x,y)/g(x,y). Men dette er den ikkke. Jeg kan kun se at der er en f(x,y)/g(x)  i y´=(x^2+xy+y^2)/x  og ikke nogen f(x,y)/g(x,y)

g(x,y) = x er en konstant funktion mht. til y. 

#10 Jeg forstår ikke helt, hvordan du kan bruge separation af variable på den. 
Der er udgangspunktet jo, at y' = g(y)·h(x). Det er vel ikke tilfældet her.

Ved du hvordan det kan være at der skal bruges seperabel variabel til denne dy/dt=2+e^y . Den an jo ikke omksrives til g(x)*h(x)?

#13

Ved du hvordan det kan være at der skal bruges seperabel variabel til denne dy/dt=2+e^y . Den an jo ikke omksrives til g(x)*h(x)?

but again, it's a first order nonlinear ODE

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+dy%2Fdt%3D2%2Be%5Ey+

it's rather a heavy high school ODE problem

#13 h(x) = 1 og g(y) = 2 + e^y.

#10

Jeg gætter på, at du har skrevet den oprindelige diff-ligning forkert op. Det er ikke y' = (x²+xy+y²)/x men rettere

                                                                       y' = (x²+xy+y²)/x²                 (Θ)

Med f(x,y) = (x²+xy+y²)/x² er ligningen klar homogen, da for alle reelle tal t gælder, at 

                                     f(t·x,t·y) = ( (t·x)²+(t·x)(t·y)+(t·y)² )/(t·x)²                                                                                                                            = t²·(x²+xy+y²)/t²x²                                                                                                                                                = (x²+xy+y²)/x²                                                                                                                                                      = f(x,y).

Hvis du indfører en ny variabel v = y/x, ( der afhænger af x ), vil du ved omskrivning få y = vx. Brug nu produktreglen, så du får y' = v + x(dv/dx). Diff-ligningen (Θ) kan nu ved substitution skrives som 

                                                          v + x(dv/dx) = ( x² + x(vx) + (vx)² )/ x²                                                                                                                                        = ( x² + x²v + x²v² )/ x²                                                                                                                                          = x² (1 + v + v²) / x²                                                                                                                                              = 1 + v + v² 

Det er nu åbenlyst hvorfor den nye variabel indføres, netop fordi den forenkler ligningen således at potensen x²  'fjernes' i tælleren og nævneren. Arbejder du videre vil du nå frem til flg.:

                                                                          x(dv/dx) = 1 + v²                                                                                                                                                 ∫ dv/(1+v²) = ∫ dx/x           (Φ)                                                             

hvor du kan finde stamfunktionen til udtrykket på højre og venstre (Φ), hvor du kan se at der er blevet brugt seperation af de variable. Til sidst skal du substituere tilbage, idet du jo husker at y = vx.