Matematik

Anlæggelse af en natursti (integralregning), Vejen til Matematik A2, Opgave 293, Side 215, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

13. august 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 293

En kommune overveje at anlægge en natursti ud til et fugletårn bag en skovsø. Tegningen viser kommunens problem plottet ind i et koordinatsystem.

(Se den vedhæftede fil her kan man se opgaveteksen og tegningen)

Man kan vælge mellem to stier, der kan beskrives grafisk af funktionerne:

f ( x ) = 3,713 • x ^{1 / 3} og g ( x ) = 1,252 • e^{( 1 / 5) • x - 1,252}

a) Vis at graferne for f og g begge går gennem ( 10 , 8 )

Mit forsøg:

f (10 ) = 3,713 • 10 ^{1 / 3}? = 7,99 = 8 ( 10 , 8)

Det ser ud til at passe i grafen for f

g ( 10 ) = 1,252 • e ^{( 1 / 5) • 10 - 1,252} = 1,252 • e ²^{- 1,252} = 2,645 ( 10; 2,2645 )

Jeg kan ikke få det til at passe i grafen for g

Mit spørgsmål er hvad gør jeg forkert i a ?

b. Beregn de to stiers længder.

Mit forsøg:

Først nævner jeg

Sætning 5,8: Kurvelængde

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' ( x ) )² dx

---------------------------------------------

Jeg diferentierer f :

f ' = ( 3,713 • x ^1/3 )' = 3,713 • ( 1 / 3 ) • x ^{( ( 1 / 3 ) - 1 )} = 3,713 • ( 1 / 3 ) • x ^{- 2 / 3}

Dette indsættes i K

10 10

K = ∫ √ ( 1 + ( 3,713 • (( 1 / 3 ) • x ^{- 2 / 3} ) )² dx = ∫ √ ( 1 + ( 1,05767 • x ^{- 2 / 3} )² )

0 0

10 10

K = ∫ u ^{1 / 2} dx = ( 2 / 3 ) • [ 1 + 1,05767 • x -^{2 / 3} ] = 0, 81858

0 0

Benytter substitionen

u = 1 + 1,05767 • x ^{- 2 / 3}

------- = 0 + 1,05767 • x ^{- 2 / 3} = 1,05767 • x^{- 2 / 3} ⇔ du = 1,05767 • x^{- 2 / 3}• dx =

dx = du ( 1 / 1,05767) • x ^{2 / 3}

Jeg er klar over at min udregning er forkert for i facitlisten side 395 er løsningen 14,0 km.

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert ?

på forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 293.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. august 2023 af ringstedLC

Hvis de to stier skal starte i (0, 0) og ende ved tårnet:

$\begin{align*} g(x) &= 1.252\cdot e^{\frac{1}{5}\,x}-1.252 \\ g(10) &\approx 8\approx f(10) \\ g(0) &= 0=f(0) \end{align*}$

altså endnu en trykfejl i din bog!

Vedhæftet fil:ScreenShot_20230813153115.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
13. august 2023 af M2023

#0. Fortryder indlæg

Vedhæftet fil:2075103.png

Svar #3
13. august 2023 af ca10

Tak for svaret.

Til Svar # 1. ringstedL C

Mit spørgsmål er, hvordan løser opgave b, for i mit forsøg er det ikke lykkedes ?

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #4
13. august 2023 af peter lind

b) Du blander mellemregninger på en helt forkert måde. Du kommer til at regne det hele om,

Det skal du under alle omstændighede. I stedet for at udregne dx skal du udregne du

Brugbart svar (1)

Svar #5
13. august 2023 af ringstedLC

b) Der går noget galt ved din reduktion af integranden:

$\begin{align*} f'(x) &= 3.713\cdot \tfrac{1}{3}\,x^{-\frac{2}{3}} \\ \bigl(f'(x)\bigr)^{\!2} &= 3.713^2\cdot \left (\tfrac{1}{3} \right )^{\!2}\cdot\left (x^{-\frac{2}{3}} \right )^{\!2} \\ &= \tfrac{3.713^2}{9}\,x^{-\frac{4}{3}}\,{\color{Red} \neq }\,\left (1.05767\,x^{-\frac{2}{3}} \right )^{\!2} \\ K_f &= \int_{0}^{10}\!\sqrt{1+\tfrac{3.713^2}{9}\,x^{-\frac{4}{3}}}\,\mathrm{d}x\approx 14.0\,(\textup{km})\;(\textup{beregnet m.\;CAS}) \end{align*}$

Desuden skal int.-grænserne også substitueres. Men brug din CAS/lommeregner!

Brugbart svar (1)

Svar #6
13. august 2023 af M2023

#0. a)

$f(x)=3,713\cdot x^{\frac{1}{3}}\wedge g(x)=1,257\cdot (e^{\frac{1}{5}x}-1)\Rightarrow$

$f(10)=3,713\cdot 10^{\frac{1}{3}}\wedge g(10)=1,257\cdot (e^{\frac{1}{5}\cdot 10}-1)\Rightarrow$

$f(10)\approx 8,0\wedge g(10)\approx 8,0$

f(x)-stiens længde:

$\int_{0}^{10}\sqrt{1+\left ( \left ( 3,713\cdot x^{\frac{1}{3}} \right )' \right )^2}\;dx=\int_{0}^{10}\sqrt{1+ 1,532 \cdot x^{-\frac{4}{3}}}\;dx=14,0$

g(x)-stiens længde:

$\\\int_{0}^{10}\sqrt{1+\left ( \left ( 1,252\cdot \left ( e^{\frac{1}{5}\cdot x}-1 \right ) \right )' \right )^2}\;dx= \int_{0}^{10}\sqrt{1+0,0627\cdot e^{\frac{2}{5}\cdot x}}\;dx=13,2$

Svar #7
13. august 2023 af ca10

Tak for svarene.

jeg ser nærmere på dem-

Svar #8
16. august 2023 af ca10

f ( x ) = 3,713 • x^{( 1 / 3 )}

I svar # 5 ringstedLC

K f = ∫ √( 1 + (3, 7132 / 9) • x ^(-4/3) ) dx ≈ 14,0 km

Men det svar hjælper ikke så meget da man her anvendes CAS til at bestemme naturstiens længde.

Det jeg er intereseret i at se hvordan man bestemmer stamfunktionen til det bestemte integral

I svar # 6 M2020

∫ √( 1 + ((3, 7132 • x ^(1/3) ) ' ) dx = √( 1 + 1,532 •x^(-4/3) dx = 14,0

Her vises også facit, men man viser ikke hvor hvordan man bestemmer stamfunktionen til det bestemte integral. Det jeg er intereseret i at se hvordan man bestemmer stamfunktionen til det bestemte integral

( f ' ( x ) )²= 3,7132 • (1 / 3) ² • x (( -2 / 3 ))² = 3,71322 / 9 • x^{(( -2 • 2/ 3 ))} =

= ( 3,7132) / 9 • x ^{-4 / 3} = 1,532 • x^{(( -4/ 3 ))}

10 10

K f = ∫ √( 1 + (3, 7132 / 9) • x ^(-4/3) ) dx = ∫ √(1 + 1,532 • x ^{( -4/ 3 )} ) dx

0 0

Derfor jeg spørger om der er nogen på studieportalen der kan vise hvordan man bestemmer naturstiernes længde uden at brug CAS eller bare viser facit. Her mener jeg hvordan man bestemmer stamfunktionen til

√(1 + 1,532 • x ^{( -4/ 3 )} ) dx så man kan udregne det bestemte integral

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #9
16. august 2023 af peter lind

brug substituion u= 1+3,7132*x^-2/3 du = -3,7132*2*x^-5/3/3

Svar #10
16. august 2023 af ca10

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på dit svar også prøver jeg

at udføre substituionen u= 1+3,7132*x-^2/3 du = -3,7132*2*x^-5/3/3

På forhånd tak

Svar #11
17. august 2023 af ca10

f ( x ) = 3,713 • x ^1/3

Kurvelængde:

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' ( x ))² ) dx

K = ∫ √ ( 1 + ( 3,713) • x ^{1 / 3} )^')² ) dx =

jeg prøver at anvende metode 2 side 184

Substituere : ut = 1 + 3,713 • x ^{1 / 3}

Diffentierer u : du / dx = 0+ 3,713 • ( 1 / 3) • x^{( 1/ 3) -1)} = 3,713 • ( 1/3) • x^-2/3

du/ dx = 3,713 • ( 1/3) • x^-2/3

3• du

----------- = x ^-2/3dx

3,713

Jeg synes det ser underligt ud,

Jeg er kørt fast.

Mit spørgsmål er hvordan substituere man på den rigtige måde i integranden så man kommer frem til stamfunktionen.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #12
17. august 2023 af peter lind

du skal sætte

1) u = 1+f'(x)² ikke 1+f(x)

2) du = (1+f'(x)²)' = g(x)*dx

3) Bruge 1) til at finde g(x) udtrykt ved u

Integranten bliver dermed u^½*g(u)

Svar #13
17. august 2023 af ca10

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på det.

Svar #14
18. august 2023 af ca10

Til svar # 12, peter lind

b 10

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' ( x ) )²dx = ∫ √ ( 1 + ( (3,713 • x^1/3) ' )² dx

a 0

1) u = 1+ (f ' (x))² = 1 + ((3,713 • x^1/3) ' )²

2) du / dx = 0 + ((3,713 • x^1/3) ' )² = (3,713 )² • ( 1 / 3 )² • ( x^{-2 / 3} )² = 1,5318 • x ^{-4 / 3}?

du = 1,5318 • x ^{-4 / 3} dx

du / (1,5318 • x ^{-4 / 3} ) = dx

dx = 0,65283• x^{4 / 3} du

3) Jeg forstår ikke hvad du mener med bruge 1) til at finde g(x) udtrykt ved u.

Mit spørgsmål er, kan du ikke foretage den udregning hvor man bruger 1) til at finde g(x) udtrykt ved u og foretage udregningen så man kommer frem til at Integranten dermed bliver u½*g(u). Og kan du ikke vise hvordan denne udregning fører frem til stamfunktionen.

På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #15
18. august 2023 af peter lind

Du skal ikke finde dx udtrrykt ved u

Du har

u = 1+ (f ' (x))² = 1 + ((3,713 • x^1/3) ' )²

Deraf finder du

u-1 = 1,5318 • x ^{-4 / 3}

Hvilket du sætter ind i

du = 1,5318 • ^{x -4 / 3} dx

Det bemærkes at hvis du har en funktion af formen kvrod(g(x), sin( g(x)), ln(g(x)) skal du meget ofte om ikke altid i gymnasieopgave substituere u = g(x) du = g'(x)dx hvor integranden som regl indeholder g'(x)

Svar #16
18. august 2023 af ca10

mathon viste i sit svar #7 opgave 291, hvordan man løste opgave b)

f ( x ) = 3,713 • x ^{1 / 3} og g ( x ) = 1,252 • e^{( 1 / 5) • x - 1,252}

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' ( x ) )²dx

Jeg vil spørge om mathon har tid tll at vise uden brug af CAS eller andet matematikprogram men manuelt kan vise hvordan man kommer frem til stamfunktionen og udregner stiernes længde i opgave 293 b.

På forhånd tak

Svar #17
19. august 2023 af ca10

Til svar #5 ringstedLC

Opgave 293

f ( x ) = 3,713 • x ^{1 / 3} og g ( x ) = 1,252 • e ( 1 / 5) • x^{- 1,252}

Uanset hvad jeg gør er mine forsøg på at bestemme naturstiernes længde er mislykkedes.

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' ( x ) )2 dx

u = 1+ (f ' (x))² = 1 + ((3,713 • x^1/3) ' )²= 1 + (3,713 )²• ( 1 / 3 )² • ( x-2 / 3 )²= 1 + 1,5318 • x^{-4 / 3}

b 10

K = ∫ √ ( 1 + ( f ' ( x ) )²) dx = ∫ √ ( 1 + 1,5318 • x ^{-4 / 3}) dx = [ ? ]

a 0

Jeg vil spørge om ringstedLC har tid til at vise hvordan man løser opgave b uden at anvende CAS.

For hvordan bestemmer man stamfunktionen ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #18
20. august 2023 af M2023

#17. ∫ √ ( 1 + 1,5318 • x ^{-4 / 3}) dx ...hvordan bestemmer man stamfunktionen ?

Det kan ikke lade sig gøre på det, som kaldes "lukket form" - dvs. den form man normalt anvender. Jeg har prøvet at gøre det på en hjemmeside med antiderivative-funktioner (engelsk for stamfunktioner). Du kan godt f.eks. lave en Taylorrække for funktionen og integrere denne, men det er noget andet.

Svar #19
20. august 2023 af ca10

Tak for svaret

Mit spørgsmål er kan det ikke lade sig gøre at løse opgave 293 b manuelt, men kan kun løse opgaven ved brug af CAS eller andet matematikprogram.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #20
20. august 2023 af M2023

#19. Du kan i teorien altid bestemme værdien af et bestemt integral ved at bruge definitionen af dette. Her får du med 10.000 iterationer:

$\int_{0}^{10}\sqrt{1+ 1,532 \cdot x^{-\frac{4}{3}}}\;dx\approx$

$\frac{10}{10000}\sum_{i=1}^{10000}\sqrt{1+ 1,532 \cdot (10\cdot i/10000)^{-\frac{4}{3}}} =13,7$

Dette er dog en langsom metode.

Forrige 1 2 Næste

Der er 21 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.