Matematik

!!!!!Matematik hjælp!!!!!!

08. april 2003 af SP anonym (Slettet)

Hej.
En funktion f er bestemt

1-e^-x for x større end eller lig med 0 og for x mindre end eller lig med ln(2)
og
e^-x for x større end ln(2).

Jeg skal så beregne integralet fra 0 til 1.
Jeg bliver jo så nødt til at have to integraler. Men hvilken fælles værdi kan jeg bruge. Det er jo kun den ene der har værdien ln(2) og det er der de skærer hinanden.
Hvis man kan kan bruge ln(2) som fælles grænse vil jeg gerne vide hvorfor.
Hvis man ikke kan dette er man vil nødt til at finde grænseværdi?

mvh Rune

Brugbart svar (1)

Svar #1
08. april 2003 af 404error (Slettet)

Riemann-integralet har den nyttige egenskab, at det ikke ændrer værdi når du tilføjer endeligt mange diskontinuitetspunkter. Du kan altså sagtens bruge ln(2) både i det ene og det andet integral. Overvej rigtigheden af min påstand grafisk. Hvis du har behov for et egentligt bevis, kan jeg nok også finde et sådant. Generelt er det et specialtilfælde af det man kender som Lebsgues karakterisation af Riemann-integrable funktioner: En funktion er riemann-integrabel hvis og kun hvis mængden af diskontinuitetspunkter har mål nul.

Brugbart svar (1)

Svar #2
08. april 2003 af 404error (Slettet)

Hm, for pedanterne - man skal naturligvis antage, at f er begrænset på det betragtede (kompakte) definitionsinterval.

Svar #3
08. april 2003 af SP anonym (Slettet)

Nu har jeg så kun matematik på gymnasiet på andet år.(godt nok 3 årigt højniveau)
Så det ville være rart med et lidt mere jordnært bevis :)
(Har aldrig hørt om Riemann-integralet)

Rune

Brugbart svar (1)

Svar #4
08. april 2003 af Lurch (Slettet)

Jeg har også 3-årig mat på gymnaiet, og Riemann-integralet indgår heller ikke i vores pensum. Det er dog alligevel gennemgået i et kapitel, så prøv at check din mat bog og se om der ikke skulle være nævnt noget om det. Jeg ahr højniveaumatematik bogen fra Trip

Brugbart svar (1)

Svar #5
08. april 2003 af 404error (Slettet)

Riemann-integralet er det sædvanlige integral, man lærer om i gymnasiet. Mht. et bevis, skal jeg se om jeg kan finde et - men igen, prøv at overveje det grafisk. Arealet under en kurve vil være det samme, hvis du ændrer kurven i blot et enkelt (eller for den sags skyld flere) punkter. Sagt på en lidt upræcis måde, "arealet under" et punkt er simpelthen nul.

Brugbart svar (1)

Svar #6
08. april 2003 af 404error (Slettet)

Igen, Riemann-integralet er ikke noget specielt fancy... I gymnasiet kalder man det bare "integralet" - fordi det er det eneste integral, man hører om. På videregående uddannelser bliver man belært om "bedre" integraler, der er kvalitativt forskellige fra Riemann-integralet. Derfor min betegnelse :)

Brugbart svar (1)

Svar #7
08. april 2003 af Lurch (Slettet)

Ja, det er bare gennerelt kaldt integralet, men problemet er, at gymnasiebøger tager en fin lille genvej i deres definition af integral. Denne genvej gør at det ikke er muligt af finde arealet under en diskontinuert kurve ved hjælp af stamfunktion. I min bog er der derfor et specielt, ud over pensum, afsnt som gennemgår den egentlige definition af integral, og derved også giver muligheden for at regne på diskontinuerte funktioner

Brugbart svar (1)

Svar #8
08. april 2003 af Jean

404error tænker du på Henstok-Sjteltes integralet f.eks. ?

Brugbart svar (1)

Svar #9
08. april 2003 af 404error (Slettet)

Lige det integral siger mig ikke noget - hvilken sammenhæng optræder det i? Når jeg taler om "bedre integraler", tænker jeg først og fremmest på Lebesgueintegralet (og for den sags skyld varianter heraf), der jo giver markant bedre egenskaber ved f.eks. grænseovergang.

Brugbart svar (1)

Svar #10
09. april 2003 af Jean

Her er lidt om Henstock og Henstock-Stjeltes ingegraler skrevet af Hoffmann. Jeg skal være ærlig og sige at jeg faktisk ikke kan se det smarte ved Henstock-
Stjelte intregraler, derimod er Henstock integralet vist meget smart, hvis man skal integrere ikke kontinuerte funktioner.

http://www.kongslund.dk/download/henstock.pdf

Brugbart svar (1)

Svar #11
09. april 2003 af 404error (Slettet)

Det var interessant! Som sagt, Henstock-integralet er nyt stof for mig - ganske overraskende, at det er mere generelt end Lebesgue, når det nu virker så meget simplere. Man fristes næsten til at spørge, hvad bagsiden af medaljen er..? Integralet har åbenbart de eftertragtede egenskaber ved grænseovergang - men hvad med f.eks. fuldstændighed under H^p-normen (eller hvad den nu hedder)?..

Jeg ved, at Lebesgue-Stieltjes, er ganske nyttige i målteoretisk ssh. Mon ikke Henstock-Stieltjes er videreudviklingen heraf?

Brugbart svar (1)

Svar #12
09. april 2003 af Jean

Det kan også være det bare er en eller anden underlig ide Hoffmann har haft, han har også utroligt meget med borel mængder og borel funktioner, selvom han mente at han var den eneste på matematisk institut i Århus, der kunne finde en mængde, som ikke er en borel mængde. Jeg kender ikke til Lebesque integralet, men det lærer man vel om i videregående analyse fag.

Brugbart svar (1)

Svar #13
09. april 2003 af Lurch (Slettet)

Så skal jeg love for vi kom op på uni niveau.......... :D

Svar #14
09. april 2003 af SP anonym (Slettet)

Spørgsmål til 404error og Jean:
Kan I henvise mig til nogen bøger, der omtaler Lebesgue- og Henstock- integralerne?

Mvh. Sigmund

Brugbart svar (1)

Svar #15
09. april 2003 af Jean

Øhm ovenstående noter definerer Henstock og Henstock-Stjelte ingegralerne. Hvis du vil vide mere om dem skal du nok kigge i en sandsynlighedsregningsbog (videregående).

Forresten jeg kom til at tænke på et klassisk eksempel på en funktion som ikke er riemann integrabel på noget interval [a,b] nemlig dirclects funktion som er 1 for alle irationelle tal og 0 for alle rationelle tal.

Brugbart svar (1)

Svar #16
09. april 2003 af 404error (Slettet)

Rudin, "Real and Complex Analysis" er god, men pænt(!!!) svær.

Brugbart svar (1)

Svar #17
09. april 2003 af 404error (Slettet)

Ja, for at gøre tingene værre, har jeg ladet mig fortælle, at der findes en funktion f:(0;1)->R således at f' eksisterer i ethvert punkt i (0;1) og f' er begrænset, men f' er IKKE Riemann-integrabel på NOGET delinterval af (0;1). Se det er ret spøjst!

Skriv et svar til: !!!!!Matematik hjælp!!!!!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.