Haster! Matematik!!

Har fire lidt vanskelige opgaver :S

Opgave 1.
Tre prøveboringer, der ligger på linje, vi ser at olien, man leder efter, ligger i de dybder, der er vist på figuren. Dette giver anledning til tro, at oliebæltet har form som en parabel. Hvis man borer og pumper olien op, vil ny olie blive presset op nedefra. Det kan derfor bedst betale sig at bore der, hvor olien er nærmest jordoverfladen.

a) Angiv, hvor det er, og hvor dybt der er, når alle målene er i venstre side af skakterne.

(billede vedhæftet)

Opgave 2.
a) Vis at (d/dx)(x/x+1)=(d/dx)(-1/x+1)
b) Giv derefter en forklaring på dette, skønt (d/dx)(x/x+1)=(d/dx)(-1/x+1)

Opgave 3.
Grafen for den differentiable funktion f har i punktet (2,3) en tangent med hældningskoefficienten -2.
Funktionen g er bestemt ved g(x)=kvadratroden af (f(x)+1)

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for g i punktet (2,g(2)).

Opgave 4.
To lige vejstykker løber parallelt. De er på figuren indtegnet, så de er parallel med x-aksen og ender hhv. (0,0) og (1,1). De skal som vist forbindes med et s-formet vejstykke, der er en del af grafen for tredjegradpolynomiet p(x)=ax^3+bx^2+cx+d For at gøre vejen så trafikvenlig som mulig, må der ikke være knæk i de punkter, hvor vejstykkerne støder sammen. (billede vedhæftet)

Dette betyder, at

f(x)=0 for x<0
f(x)=p(x) for 0<x<1
f(x)=1 for 1<0

skal være differentiabel – og dermed også kontinuert.
Gør rede for, at det skal gælde, at p(0)=p’(0)=0. Opskriv yderligere to ligninger, der skal være opfyldt, og bestem derefter en forskrift for p.

Håber nogen kan hjælpe.