Titius-Bodes lov

Kan man overhovedet udregne 2 i minus uendelig?!

Jah, det er lig med nul. Således er Merkurs afstand til solen 0,4 AE.

2ⁿ -> 0 for n ->-oo. Se iøvrigt  http://en.wikipedia.org/wiki/Titus-Bode 

Jeg takker for svarene ;)

Bemærkning til spørgsmålet om Merkurs middelafstand.
I Titius-Bodes lov sætter man n lig ”minus uendelig”.
I formlen herunder sætter man n lig 1 for at få den første planets afstand.

En stribe afstande i solsystemet har det tilfælles, at deres størrelsesorden kan illustreres med værdierne af en funktion med regneforskriften 2ⁿ + 2n + 2 hvor n er et naturligt tal fra 1 til 10.                                                                                          Fra 1 til 8 får du værdier, der ligner Titius-Bodes tal blot med længdeenheden 10¹⁰ meter.
For n lig 9 får du et tal, der ligger midt imellem Neptuns og Plutos middelafstande.
Med n lig 10 får du middelafstanden for dværgplaneten Eris med en afvigelse på blot 3 %.
Formlen er ikke en naturlov, blot en matematisk dosmerseddel. En ”dosmerformel”.

Der findes også en dosmerformel for Jupitersystemet og en for planeterne om stjernen HD 10180. Der er artikler om disse i LMFK-bladet årgang 2010 nr. 4 og 6. Venlig hilsen, Poul.
 

I anledning af spørgsmålet om Titius-Bodes lov berettes her om en anden formel for nogle afstande i solsystemet.
I en bekendtgørelse for naturfag stod der i sin tid, at eleverne skulle orienteres om solsystemet. Hvad afstande angår tolkede jeg dette på den måde, at eleverne skulle orienteres om størrelsesordnen. Jeg fandt, at det var bedst at anvende enheden 10¹⁰ meter, der forekom mig rund og huskbar. Så kunne de fleste afstande i solsystemet angives med overskuelige 2 og 3-cifrede tal, for eksempel Jordens middelafstand fra Solen (15). Mængden af afstande kunne virke overvældende, hvorfor jeg i spredt fægtning udvalgte eksempler på afstande, der havde det tilfælles, at deres størrelsesorden kunne illustreres med værdierne af en funktion med regneforskriften  2ⁿ + 2n + 2  hvor n er et tal i tabellens første kolonne. Regneforskriften kalder jeg dosmerformlen. Den er ikke skabt til afdækning af videnskabelige sammenhænge. Sammensuriet af afstande understreger dette. Målt i procent er overensstemmelsen bedst for n > 5, selv om formlen var konstrueret til at passe for små værdier af n.

Anvendt enhed for afstande: 10¹⁰ meter. 
1 Merkur       Afstand  5,8                 Formlen 6
2 Venus       Afstand 10,8                Formlen 10
3 Jorden      Afstand 15                    Formlen 16
4 Mars          Afstand 23                    Formlen 26
5 Asteroidebæltet    34 – 50            Formlen 44
6 Jupiter      Afstand 78                     Formlen 78
7 Saturn      Afstand 143                   Formlen 144
8 Uranus    Afstand 287                    Formlen 274
9 Neptun / Pluto gennemsnit 520   Formlen 532
9 Halleys komet i aphel   528          Formlen 532
10 Eris        Afstand 1016                  Formlen 1046

Verbale huskeremser er harmløse. Huskeformler bruger matematisk sprog, som naturvidenskab også anvender. Det kan give anledning til misforståelser. Dosmerformlen er ikke en naturlov.

Historik.
Dosmerformlens værdier er delvis ækvivalente med værdierne i Titius-Bodes lov, der blev fremsat i 1700-tallet. Denne lov skal ikke omtales her, da man med Google kan finde 24700 opslag. Blot skal nævnes, at den opererer med en besynderlig nummerering af planeterne. Merkur er nummer ”minus uendelig” og Venus nummer 0. Det er ikke brugervenligt.

Eleverne.
Dosmerformlen blev konstrueret til min første time i naturfag. Det viste sig at være en formel, man udmærket kunne bruge over for elever, der kom direkte fra folkeskolen. De havde ikke besvær med at håndtere formlen og tog det ikke så tungt, at værdien for n = 9 ej gav Neptuns middelafstand, men lå midt imellem Neptuns og Plutos. Det gav da lidt information om de to yderste planeter. Den gang var Pluto en planet og Eris ej opdaget.

Venlig hilsen, Poul.

I anledning af spørgsmålet om Titius-Bodes lov berettes her om en dosmerformel for nogle afstande i Jupitersystemet

Jupitersystemets udstrækning er ca 1 procent af solsystemets. Hvis man anvender enheden 10⁷ meter, kan afstande angives med overskuelige tal med få cifre. En række måner har det tilfælles, at størrelsesordnen af deres middelafstande fra Jupiter kan illustreres med værdierne af en funktion med regneforskriften  7 ^. ( 2ⁿ + 2n + 2)  hvor n er et tal i tabellens første kolonne.

Anvendt enhed for afstande: 10⁷ meter. ”Afstand” betyder afstand fra Jupiter.

0 Thebe              Afstand   22     Formlen  21
1 Io                      Afstand   42     Formlen  42
2 Europa            Afstand   67     Formlen  70
3 Ganymedes   Afstand 107    Formlen 112
4 Callisto           Afstand 188    Formlen 182

For n < 5 passer dosmerstrukturen bedre i Jupitersystemet end i Solsystemet. Jupitersystemet er ældre end Solsystemet, hvis man måler tid i antal omløb om centrallegemet.
 

En dosmerformel for nogle afstande i planetsystemet om stjernen HD 10180

Ved at bruge ESO’s uovertrufne HARPS-instrument har astronomer opdaget et planetsystem med mindst fem planeter, der kredser om den sollignende stjerne HD 10180. Forskerne har også set tegn på, at to andre planeter kan være til stede, hvoraf den ene vil være den letteste, der nogensinde er fundet.

Dette stod at læse på internettet i sommeren 2010.
Efter 12. august kunne man finde nærmere oplysninger på adressen: http://www.eso.org/public/archives/releases/sciencepapers/eso1035/eso1035.pdf
Blandt andet finder man planeternes middelafstande fra stjernen. De er her omregnet fra AE til meter. Udforskningen er under udvikling. Der kan komme korrektioner og tilføjelser.

De 7 planeter er opstillet i tabel med numre, som jeg har valgt skal gå fra 0 til 6. Nr.7 er en ekstrapolation. Planet nr. 0 har en masse, der er lidt større end Jordens. Den må være tæt på sin stjernes overflade, for dens afstand fra stjernens centrum er 3,3 ^. 10⁹  meter, hvilket er lidt under 5 solradier – og Solen ligner stjernen. Teknikken til sporing af så små planeter er ny og der kan komme korrektioner.
Planet nr.1 og 2 har en masse, der ligner Uranus`. Planet nr.3, 4 og 5 har en masse, der er lidt større end Neptuns. Nr.6 en masse, der mere ligner Saturns end Neptuns. Disse store planeter er trængt sammen i et område, hvis lineære udstrækning er ca. en tiendedel af solsystemets.
Et system, der er anderledes end vort.

Hvis man anvender enheden 10⁹ meter, kan afstande i systemet angives med overskuelige tal med få cifre. Fem af de syv planeter har det tilfælles, at størrelsesordnen af deres middelafstande kan illustreres med værdierne af en funktion med regneforskriften

1,48 ^. ( 2,64ⁿ  + 2n + 2 )

hvor n er et tal i tabellens første kolonne.
Det er nr. 0 og nr. 4, der skiller sig ud. De øvrige observerede planeter stemmer inden for 2-3 %.

HD10180b osv er ESOs betegnelse for planeterne.
”Afstand” betyder afstand fra stjernen som den var målt at være august 2010.
Anvendt enhed for afstand er 10⁹ meter.

0  HD10180 b       afstand     3,3     formel      4,4
1  HD10180 c       afstand      9,6    formel       9,8
2  HD10180 d       afstand   19,2    formel     19,2
3  HD10180 e       afstand   40,3    formel     39,1
4  HD10180 f        afstand    74       formel     87
5  HD10180 g       afstand  213      formel    208
6  HD10180 h       afstand  509      formel    522
7  Ej observeret    afstand    ?         formel  1350

Som nævnt er Nr.7 en ekstrapolation

Formlens opstilling
Jeg tog udgangspunkt i dosmerformlen for Solsystemet:  2ⁿ + 2n + 2
Det er klart, at eksistensen af et førstegradspolynomium efter 2n har betydning, når n er lille. For at komme i gang valgte jeg at fastholde førstegradspolynomiet som det var, og eksperimenterede blot med grundtallet i første led. Det førte til et grundtal omkring 2,64. Så fastholdt jeg dette grundtal og eksperimenterede med andre førstegradspolynomier med heltallige konstanter. Det viste sig, at der ikke var grund til at ændre 2n + 2. Tallet 1,48 er en tilpasningsfaktor mellem to sæt forholdstal.

Bemærkning
Sammenlignet med Solsystemet ligger planeterne inden for asteroidebæltet. ESO oplyser, at man ikke har fundet tegn på en stor planet som Jupiter længere ude. Men det kan være, man finder en mindre. Det ville være interessant, hvis dens afstand viser sig at ligge omkring 13 –14 hundrede enheder.