Matematik

Integration: Volume af Kugle

25. marts 2015 af feynman (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Jeg bliver bedt om at finde volumen af en kugle. Følgende integral skal evalueres:

$\int \int \int_R x dV$

R er volumen af kuglen i første oktant. Hvor:

$x^2+y^2+z^2 \leq 1$

Dvs. at: $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0$

Jeg udtrykker variablerne som sfæriske koordinater:

$\int \int \int _R x dV = \int \int \int _R R^2 sin\Phi dR d\Phi d\theta$

Svar #1
25. marts 2015 af feynman (Slettet)

Theta og Phi er pi/2

Grænserne er z = sqrt (-x^2-y^2):

x <= sqrt (y) <= z

Men det srr ikke rigtig ud

Brugbart svar (1)

Svar #2
25. marts 2015 af Andersen11 (Slettet)

Hvis man skal beregne rumfanget af en kugle, er det ikke det korrekte integral.

Man kan med fordel benytte sfæriske koordinater.

Svar #3
26. marts 2015 af feynman (Slettet)

Er der en der kan se hvad jeg gør galt?

Vedhæftet fil:Capture 2.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #4
26. marts 2015 af Soeffi

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1581751.

Svar #5
26. marts 2015 af feynman (Slettet)

Jeg skifter til sfæriske koordinater og tager integranden af volumeelementet, men får ikke det korrekte resultat, som mig bekendt er $\frac{\pi}{8}$ .

Svar #6
26. marts 2015 af feynman (Slettet)

Min løsning:

Vedhæftet fil:1.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #7
26. marts 2015 af Soeffi

Svar #8
26. marts 2015 af feynman (Slettet)

Umiddelbart ser jeg ingen fejl i udregningen. Jeg har forhørt mig frem til at svaret er pi/8

Svar #9
26. marts 2015 af feynman (Slettet)

, men får selv $\frac{\pi}{16}$ som resultat.

Brugbart svar (1)

Svar #10
26. marts 2015 af Soeffi

Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1586721.

Svar #11
26. marts 2015 af feynman (Slettet)

Ok. Så er mine grænser nok forkerte. Jeg synes det giver god mening at sætte theta=pi/2, phi=pi/2 og rho=1. Tager jeg theta til pi, får jeg pi/8 i facit, men det synes jeg ikke giver mening når vinklen udspændt af theta dækker 1/4 af xy fladen, tilsvarende en rotation omkring denne akse på pi/2 radianer i enhedskuglen

Brugbart svar (1)

Svar #12
26. marts 2015 af hesch (Slettet)

#0: Alternativ metode:

1) Skær kuglen midt over og placer halvkuglen i et xyz-koordinatsystem med overskæringsfladen i xz-planen og centrum i origo.

2) Du skærer halvkuglen i tynde plader, parallelt med xz-planen og med tykkelsen dy.

3) Skær ringe ud af en sådan plade med bredden dr.

4) Arealet af en sådan plade, A(y), er lig med ₀∫^R(y)(2πx)dx = πR(y)² ( det er vist kendt viden ).

5) Halvkuglens overflades skæring med xy-planen kan beskrives ved:

x² + y² = R² =>

R(y)² = R² - y²

Så volumen af halvkuglen findes ved integration ved:

V = π ₀∫^RA(y)dy = π ₀∫^R(R² - y²)dy = πR³ - ¹/₃*πR³ = ²/₃*πR³

Så volumen af en hel kugle bliver ⁴/₃*πR³

Svar #13
26. marts 2015 af feynman (Slettet)

Man skal dog kun beregne volumen af et udsnit lif volumen i første oktant, dvs. 1/8 af helkuglens volumen.

Brugbart svar (1)

Svar #14
26. marts 2015 af hesch (Slettet)

Det bliver så ( ⁴/₃*πR³ ) / 8 = ¹/₆*πR³ :)

PS: Det kan være at jeg snyder lidt her, men nu har jeg jo heller ikke læst opgavens fulde ordlyd.

Svar #15
26. marts 2015 af feynman (Slettet)

Det resultat får jeg det også til. Hvilket er 1/8 af volumen af enhedskuglen. Mine studiekammerater får facit til pi/8.

Brugbart svar (1)

Svar #16
26. marts 2015 af hesch (Slettet)

Jeg kan ikke se af #0, at der er tale om en enhedskugle, hvorfor volumen må afhænge af kuglens radius, R.

Det "officielle" volumen af en enhedskugle er 4/3 * π

Derfor må det "officielle" volumen af ¹/₈ enhedskugle være ¹/₆ * π

Det kan vist ikke være anderledes.

Skriv et svar til: Integration: Volume af Kugle

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.