Matematik

U er et plan med normal vektor {1,2,3}.

En basis for et plan har to vektorer der ikke er parallele, og prikprodukt med {1,2,3} skal være 0 for begge to.

Hvorfor er U en plan? Der står det er et underrum?

Hvorfor har en basis for et plan to vektorer, som ikke er parallelle?

Tak på forhånd! :)

Hvis du ikke genkender den definerende betingelse som planets ligning så gå gymnasiet om...

Hvis du ikke kan svare i en sober tone, så hold dig venligst væk her fra siden!
Jeg laver et opslag, fordi jeg har svært ved det, og derfor bør du ikke forvente, at jeg bare kan det. Det skal lige siges, at jeg aldrig har arbejdet med vektorer på gymnasiet, hvorfor jeg også har lidt svært ved det!

Men lad venligst vær med at kommentere, for din "hjælp" var ikke til særlig meget gavn!

Det lyder jo unægteligt noget mærkeligt, at du ikke har "arbejdet med vektorer på gymnasiet".

Så jeg forslår, at du ser her:

http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-a/vektorer-i-3d/planens-ligning

og ellers pløjer alt igennem vedr. vektorer på sitet.

Min viden rækker ikke til at hjælpe dig videre med den konkrete opgave.

Man arbejder ikke med vektorer, når man går på hhx...men helt fint, hvis i ikke gider at hjælpe

Generelt når du skal løse opgaver på universitetet så sørg for at du forstår alle definitionerne der i den pågældende opgave. For eksempel hvad er en basis for et vektorrum? Der må være en definition i din bog. Bemærk at et (lineært) underrum af et  vektorrum er også et vektorrum. Så du kan tænke på opgaven som at finde et basis for vektorrummet U i stedet for underrummet U hvis det hjælper. For at gøre det kan du starte med at overveje:
- Hvordan er U defineret dvs. hvilke vektorerer ligger i U
- Som allerede nævnt. Hvad er en basis for et vektorrum
- Når du har fundet ud af hvad en basis er. Så tænkt på at hvis du har en basis for U (bare på et generelt plan dvs. du har ikke fundet basen endnu, men kan evt. skrive den op som (b1, b2) hvor b1 og b2 foreløbigt er ukendte). Hvordan er vektorerer i U relateret til din basis? Her skla du kigge på definitionen af en basis for et vektorrum. Og jeg har skjult antaget at din basis består af to vektorer.

#6 Man arbejder ikke med vektorer, når man går på hhx...men helt fint, hvis i ikke gider at hjælpe

Du er ikke rimelig. Din profil siger: "HTX 3. år".

#7  Omkring "basis" ved jeg, hvornår en familie er en basis... nemlig når den er lineær uafhængig og frembringer vektorrummet. 
Forstår ikke hvad du mener med, hvad en basis er for et vektorrum? 
Og når du siger, hvilke vektorer som ligger i U, er det så ikke bare den betingelse -> x1+ 2x2 + 3x3 =0?

Og hvad mener du med, at jeg kan skrive basen op som b1 og b2 (hvilket jeg forstår som konstantsøjlen i en matrix) ?

#8 - det har været en fejl så. Det er HHX 3. år.

Ja det er rigtigt. En basis for et vektorrum er et sæt af vektorerer som er udspænder vektorrummet og er lineært uafhængige. Igen rigtigt med betingelsen for at ligge i U. Se evt. bort fra det med b1 og b2. Idéen var at hvis du tager u i U og b1, b2 udgør en basis for U så findes der a1 og a2 i F (antager at dit vektorrum er over F) sådan at u = a1b1 + a2b2 - og det skulle så hjælpe dig til at finde en basis.

Hvis du allerede har styr på det grundlæggende, så er det svært at hjælpe dig videre uden at lave opgaven for dig. Der er stort set ikke andet i opgaven end at tjekke at man har styr på sine definitioner. Hvor går det galt?

Det ikke sandt, på HHX A niveau har man om vektorer.

#11 - forstår ikke, hvorfor du/i vil bruge tid på at prøve på det der...!
Hvorfor f... skulle jeg lyve?
Jeg gentager - jeg har ikke haft om vektorer på gymnasiet (HHX A-niveau), og det har de af mine medstuderende, som har fået på HHX, heller ikke!

Hvis du virkelig har så interesse i det, så læs pensum her:
https://www.ug.dk/uddannelser/gymnasialeuddannelser/hoejere-handelseksamen-hhx/matematik-hhx


#10 - jeg tror næsten jeg har den nu!
Kan jeg prøve at skrive, når jeg har et svar, hvor du så kan fortælle, om jeg har gjordt det rigtig...?
Og iøvrigt tusinde tak for din hjælpsomhed! :)

Du har gjort det rigtigt hvis
- Du har vist at b1 og b2 ligger i U
- For vilkårligt (u1, u2, u3) i U så findes a1 og a2 så (u1, u2, u3) = a1b1 + a2b2 (bemærk a1 og a2 vil afhænge af u1, u2 og u3)
- b1 og b2 er lineært uafhængige dvs. hvis der for k1, k2 i F gælder at k1b1 + k2b2 = 0 så er k1 = k2 = 0
Bemærk også at b1 og b2 er tredimensionelle vektorerer i F hvorimod k1, k2, a1, a2 er skalarer i fra F 
Bemærk også at du behøver ikke at vise hvordan du finder b1 og b2 blot at de b1 og b2 du har fundet opfylder ovenstående tre betingelser.

Den hurtigste måde at finde b1 og b2 kandidater på er nok at overbevise dig selv om at U er to dimensionelt og så finde to lineært uafhængige vektorerer som ligger i U. Det kan du rimelig nemt gøre direkte ud fra inklusionskriteriet x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 0.

og velbekommen :)

Du kan finde en basis ved at skrive U som summen af lineært uafhængige vektorer. Når vi løser ligningen

,

fx for x₁, så får vi

,

hvor x₂ og x₃ er frie (dvs. kan antage alle værdier i F).

Det vil sige at løsningsmængden for U er

Indsæt selv værdierne. Vektorerne brugt på højre side udgør din base. Løsningsmetoden brugt her sikrer at vektorerne er lineært uafhængige. Det kan du evt. prøve at tænke lidt over hvorfor det gælder. Det er vigtigt for os at vide hvad spannet af U er, så vi ikke kommer til at vende matricen A, i opgave b, forkert.

Til opgave b: Når f er en lineær afbilding, så kan funktionen skrives som

Kan du finde A?

For at vise at f er en isomorfi, vis at f er invertibel. Dvs. vis at A er invertibel.

#15 - din hjælp er guldværd! Tak for, at du tager hensyn til mine udfordringer, og derved tilpasser fagligheden, så jeg kan forstå:-)

a) jeg fik x2(-2,1,0) + x3(-3,0,1), og det kan ses, at x3=x2=0 gælder, hvis det skal give 0, hvorfor den er lineær uafhængig.

b)jeg er lidt i tvivl her...


Og den sidste del er jeg er helt med på, tusinde tak!

Til b: Du har den sådan set. Du har to vektorer

og

De to vektorer er lineært uafhængige og kan sammensættes i en matrice

A er enten B eller B^T. Du kan nemt finde ud af hvilken der er den rigtige ved at tænke på hvad dimensionen af værdimængden af f er.

Hvad er B^T?

Og hvorfor er det lige, at det enten er B eller B^T
Og det skal jo også handle om standardbasen?