Matematik

Mængde inklusion

19. september kl. 15:11 af PiroAndersen - Niveau: Universitet/Videregående

Hej SP

Jeg sidder med denne opgave, som jeg godt kunne bruge en smule hjælpe til (vedhæftet)

Vedhæftet fil: Opgave.png

Svar #1
19. september kl. 15:12 af PiroAndersen

Hm

Vedhæftet fil:spørgsmål.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. september kl. 15:17 af swpply

Hej PiroAndersen,

Den information du skal bruge kan du finde i svar #3 i følgende tråd (link)


Svar #3
19. september kl. 15:27 af PiroAndersen

Hvordan det?


Brugbart svar (0)

Svar #4
19. september kl. 15:30 af swpply

Hvis L_u,L_v\in S så gælder der (iflg svar #3) at L_u\subsetneq L_v såfremt at u < v.

Atlså kan du definere en total orderning af S ved at L_u\leq L_v hvis og kun hvis L_u\subseteq L_v.

Du kan nu vise at denne ordning af S er refleksivantisymmetrisktransitiv og trichotomous ved at bruge egenskaben fra første linje (samt at L_u=L_s hvis og kun hvis u=v)


Svar #5
19. september kl. 15:31 af PiroAndersen

Men jeg er ikke helt med på, hvad mængde inklusion er?


Brugbart svar (0)

Svar #6
19. september kl. 15:40 af swpply

#5

Men jeg er ikke helt med på, hvad mængde inklusion er?

Et eksempel på en mængde inklusion er påstanden A er en delmængde af B, hviket skrives A\subseteq B.


Brugbart svar (0)

Svar #7
19. september kl. 15:43 af swpply

Fra Wikipedia


Svar #8
19. september kl. 15:55 af PiroAndersen

Hvordan viser jeg, at den er refleksiv, antisymmetrisk, transitiv og trichotomous? (Har kendskab til begreberne, men ikke særlig stor forståelse i af, at anvende dem)


Brugbart svar (0)

Svar #9
19. september kl. 16:02 af SuneChr

# 5
Mængder og udsagn er, i en vis forstand, to sider af samme sag.

        *)       A ⊆ B
betyder, at hvis et element tilhører A ,  tilhører elementet også B

      **)    p (A) ⇒ p (B)
betyder, at hvis p (A) er sand, er også p (B) sand.

Sandhedstabellen for **) kan analogiseres på *)
**) er som bekendt kun falsk i tilfældet   ( p (A) er sand  ∧  p (B) falsk )

  


Svar #10
19. september kl. 16:45 af PiroAndersen

Nogen hjælp til #8?


Brugbart svar (0)

Svar #11
19. september kl. 17:09 af swpply

Lemma 1:
Lad L_u,L_v\in S for ethvert u,v\in\mathbb{Q}. Da gælder der at

                                L_u\subsetneq L_v \qquad\Longleftrightarrow\qquad u < v

Bevis(\Rightarrow) Lad \overline{L_u} = \{s\in\mathbb{Q}\ :\ s\leq u\}\supsetneq L_u være aflutningen af L_u og antag at \overline{L_u}\subseteq L_v. Vi har dermed pr. definition at

                           \overline{L_u}\subseteq L_v \qquad\Longleftrightarrow\qquad \forall s\in\overline{L_u}\ :\ s\in L_v

hvorfor der specielt gælder at u\in L_v. Brug nu at der fra definitionen af mængden L_v gælder at

                                        \forall s\in L_v\ :\ s< v

og dermed at u< v.

(\Leftarrow) Antag at u < v da gælder der pr. definition af mængden L_v at u\in L_v. Brug nu dette sammen med at der fra definitionen af mængden L_u gælder at

                                     \forall s\in L_u\ :\ s< u\in L_v

hvorfra at du kan slutte

                                     \forall s\in L_u\ :\ s\in L_v

og dermed at L_u\subsetneq L_v.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Lemma 2:
Lad L_u,L_v\in S for ethvert u,s \in\mathbb{Q}. Da gælder der at

           L_u\subseteq L_v \qquad\Longleftrightarrow\qquad u \leq v

Bevis, prøv om du kan modificere beviset for lemma 1 til at vise ovenstående.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Sætning:
Mængden S er en fuldstændig ordenet mængde (totally ordered set) med hensyn til inklusionen \subseteq .

Bevis, Af lemma 2 har vi at

                               \forall u,v\in\mathbb{Q}\ :\ L_u\subseteq L_v \quad\Longleftrightarrow\quad u\leq v

hvorfor sætningen følger ved at (\mathbb{Q},\leq) er en fuldstændig ordenet mængde (link).


Brugbart svar (1)

Svar #12
19. september kl. 18:41 af swpply

Skriv endelig hvis du har spørgsmål til ovenstående eller lignende :-)


Svar #13
19. september kl. 19:35 af PiroAndersen

Jeg forstår ikke helt, hvad det er du har vist med lemma 1, lemma 2 og sætning (til sidst) - Skulle jeg ikke vise de fire egenskaber for at vise, at der er tale om en "total ordrer relation"?


Brugbart svar (0)

Svar #14
19. september kl. 20:32 af swpply

Jeg forstår ikke helt, hvad det er du har vist med lemma 1

Lemma 1 hviser at L_u er end ægte delmængde af L_v hvis og kun hvis u<v for vilkårlige rationale tal u og v.

Skulle jeg ikke vise de fire egenskaber for at vise, at der er tale om en "total ordrer relation"

Jo, men lemma 2 giver en forbindelse imellem (S,\subseteq)  og (\mathbb{Q},\leq). Hvorfor at (S,\subseteq) fuldstændig ordnet mængde hvis og kun hvis (\mathbb{Q},\leq) fuldstændig ordnet mængde. Altså sikre (\mathbb{Q},\leq) at (S,\subseteq) opfylder de fire betingelser for en fuldstændig ordnet mængde.

– Må jeg spørge hvad du læser (studie og kursus) og hvilket år du læser på? Det vil formegentligt gøre det
   nemere at hjælpe dig :-)


Brugbart svar (0)

Svar #15
19. september kl. 20:50 af swpply

Principielt set skal du stadig vise at de fire betingelser (refleksivantisymmetrisktransitiv og trichotomous) er sande for (S,\subseteq). Lemma 2 sikre os blot at dette er trivielt opfyldt ved (\mathbb{Q},\leq) er fuldstændig ordnet mængde.

Jeg vil illustrere dette ved at at \subseteq er transitiv på S: Lad u,v,w\in\mathbb{Q} da gælder der at hvis u\leq v og v\leq w da gælder det at u\leq w. Bruger vi nu lemma 2 ser vi at u\leq v\ \Leftrightarrow L_u\subseteq L_v og v\leq w\ \Leftrightarrow L_v\subseteq L_w hvorfor at u\leq w\ \Leftrightarrow L_u\subseteq L_w, dermed at vi vist at \subseteq er transitiv på S.


Svar #16
19. september kl. 20:51 af PiroAndersen

Så hvad er svaret til mit spørgsmål (kan forhåbentligt formuleres kort, så det er lettere at skabe en forståelse mig selv)?

Jeg læser til dagligt matematik på KU, på første år :]


Brugbart svar (0)

Svar #17
19. september kl. 20:54 af swpply

#16

Så hvad er svaret til mit spørgsmål (kan forhåbentligt formuleres kort, så det er lettere at skabe en forståelse)?

Ja, et kort svar er at mængde inklusionen \subseteq er en fuldstændig ordning på mængden S.

Jeg læser til dagligt matematik på KU, på første år :]

Glimrende valg ;-) er det DisRus du er igang med?


Brugbart svar (0)

Svar #18
19. september kl. 21:03 af swpply

Prøv at lave en illustrativ tegning af hvordan mængden S er ud. Det er altid behjælpeligt at havde et billed af hvad det er man prøver at bevise eller snakke om, især når abtraktions niveauet bliver stykvist højere inden for matematikken. Et billed hjælper ihvertfald oftes mig med at gennemskue hvordan jeg skal gribe et evt. bevis an.


Svar #19
19. september kl. 21:04 af PiroAndersen


Svar #20
20. september kl. 07:17 af PiroAndersen

Yes, det er DisRus :]

Er det muligt, du kan give mig svaret på opgaven, så kan jeg se hvordan sådan et bevis laves? (kan forhåbentligt give mig en bedre forståelse) - Jeg er faldet lid af efter overstående. 


Forrige 1 2 Næste

Der er 33 svar til dette spørgsmål. Der vises 20 svar per side. Spørgsmålet kan besvares på den sidste side. Klik her for at gå til den sidste side.