Matematik

Uni - spørgsmål

07. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Hej alle

Jeg læser matematik på 1. semester. I forbindelse med forelæsningerne er der dukket nogle spørgsmål op, som jeg meget gerne vil have svar på :)

1) Hvilken type graf er z=4-3x-3y ? Hvorfor?

2) Hvordan kan det bestemte integral fra 0 til pi/4 af 1/cosx være lig med ln((1+sinx)/cosx)?

3) Er en positionsvektor det samme som en stedvektor?

4) Jeg har to vektorer. Hvis deres krydsprodukt differentieres giver det nulvektoren. Hvorfor er det ensbetydende med, at krydsproduktet mellem de to vektorer er en konstant vektor?

5) Hvordan ser en kurve ud, som i punktet P har krumnning = 0 ?

6) Hvorfor er dr/ds=dr/dy × dy/ds? r er en vektor (har det nogen betydning?)

Håber der er nogle herinde, som kan være mig behjælpelig :)

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. november 2005 af frodo (Slettet)

tager kun dem, jeg mener jeg har svaret til:

2) det kan det heller ikke, men en stamfunktion til 1/cosx, er ln((1+sinx)/cosx)

4) kun konstanter differentieret giver nul.

6) det er jo kædereglen anvendt konkret

Svar #2
08. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Tak Frodo :)

2) Hvordan finder du den stamfunktion? Umiddelbart vil jeg sige, at det bliver ln|cosx| - så får jeg ikke samme værdi, som ved ln((1+sinx)/cosx)

4) Min forelæser satte => mellem de to udregninger:
(r x v)' = o (nulvektoren) =>
r x v = k (en konstant vektor)
Hvorfor kan man ikke gå den anden vej?

6) Det giver vel ikke mening, når udtrykket for r ikke indeholder et y?

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. november 2005 af 404error (Slettet)

1) z=4-3x-3y er ligningen for et plan, ej at forveksle med den tilhørende graf, som er mængden

{(x,y,z) | z=4-3x-3y}

2) Mon ikke du mener det ubestemte integral? I så fald prøv med invers substitutition af tan(t/2).

3) Ja, omend positionsvektor ikke er et særligt brugt udtryk på dansk.

4) Man kan fint gå den anden vej i dit uddybende spørgsmål i #2 (prøv!).

5) Den vil 'ligne' en ret linie tæt på P.

6) Det må være underforstået, at den oprindelige vektorfunktion er en sammensat funktion på formen r(y(s)).

Svar #4
08. november 2005 af Sabrina (Slettet)

1) Hvad er forskellen på z=4-3x-3y og {(x,y,z) | z=4-3x-3y}? Men z=4-3x-3y forestiller altså en plan - ikke en paraboloide eller noget i den stil? Hvordan kan du forresten se det ud fra ligningen?

2) Har glemt at sætte grænser på ln((1+sinx)/cosx), men det skal selvfølgelig være de samme grænser.

4) Det har jeg netop prøvet at rode med - derfor undrede det mig også, at der blev brugt =>

Mange tak for din hjælp :)

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. november 2005 af sigmund (Slettet)

ad 1) Så vidt jeg er orienteret, læses {(x,y,z)|z=4-3x-3y} som "de punkter (x,y,z), der opfylder betingelsen z=4-3x-3y", altså en mængdebeskrivelse. Derimod er z=4-3x-3y ligningen for en plan. Ligninger forestiller en plan, og ikke en paraboloide o.l, fordi den ikke er kvadratisk (den indeholder ikke andengradsled). Ligningerne for paraboloider o.l. er nemlig kvadratiske ligninger.

Svar #6
08. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Tak for dit input, Sigmund :)

Jeg kan dog ikke helt se forskellen på
"Så vidt jeg er orienteret, læses {(x,y,z)|z=4-3x-3y} som "de punkter (x,y,z), der opfylder betingelsen z=4-3x-3y", altså en mængdebeskrivelse. Derimod er z=4-3x-3y ligningen for en plan."

Har også tit undret mig over, hvorfor vi skriver y=f(x), når vi tegner en graf, men ikke blot f(x).

Svar #7
09. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Jeg har lige endnu et spørgsmål.

Jeg har F(x,y,z)=x^2cosy*2ysinx+3z-sinz=0

I en omegn af (0,0,0) betragter jeg x,y som funktion af z, dvs z=f(x,y)
Jeg skal så finde den partielle afledede af f(x,y) i (0,0) mht. x.
Skal jeg bruge bløde eller hårde d'er, når jeg benytter kædereglen?

Derudover vil jeg høre, hvorfor det kun er i en omegn af (0,0,0), at jeg kan betragte x,y som funktion af z?

Brugbart svar (0)

Svar #8
10. november 2005 af 404error (Slettet)

#7: Du skal benytte sætningen om implicit givne funktioner; den giver også svaret på dit sidste spørgsmål.

Svar #9
10. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Den giver vel ikke svar på, hvorfor det kun er i en omegn af det givne punkt?

Forresten har jeg opdaget, at jeg skrev forkert.
Ligningen var ikke z=4-3x-3y, men derimod z=4-3x^2-3y^2

Ved du tilfældigvis, hvordan dens graf der ud?

Svar #10
10. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Hov, den giver heller ikke svar på, om det er hårde eller bløde d'er. Typen af d afhænger jo af antallet af endelige og foreløbige variabler.

Svar #11
10. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Jeg glemte forresten en ting:

Hvad er forskellen på en parameterfremstilling og en vektorfunktion?

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. november 2005 af 404error (Slettet)

#9: Jo, sætningen udtrykker sig netop om en implicit defineret funktion i en /omegn/ af det oprindelige punkt.
Holder vi os til funktioner af tre variable med reelle værdier, er indholdet af sætningen følgende: givet en funktion f defineret og C^1 på en åben delmængde S af R^3 og med værdier i R, antag at (x0,y0,z0) er et punkt i S med

f(x0,y0,z0)=0

og

grad f(x0,y0,z0) != 0.

Så findes en åben omegn T om (x0,y0) og netop én funktion g defineret på T og med værdier i R, sådan at g er C^1 på T, g(x0,y0)=z0 samt f(x,y,g(x,y))=0 for alle (x,y) i T. De afledede af funktionen g udtrykt ved de afledede af f finder du ved passende brug af kædereglen på funktionen f(x,y,g(x,y)) - det er en udmærket øvelse, som du selv bør udføre. Du behøver ikke at hænge dig så meget i typen af d'er, det er et notationsspørgsmål. Er du i tvivl, kan du altid bruge bløde d'er.

Man taler typisk om parameterfremstillinger ifm. delmangfoldigheder af R^n, dvs. glatte kurver, flader etc. Det er intuitivt klart, at eksempelvis en glat kurve kan ses som en størrelse 'i sig selv' uden reference til en bestemt fremstilling - tænk blot på enhedscirklen. En parameterfremstilling er derimod en sådan 'bestemt fremstilling' i termer af en vektorfunktion.

Svar #13
11. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Mange tak for dine svar :)
- nu tror jeg, at jeg forstod det meste.

Hvis du har overskud og ved noget om krumning, må du meget gerne kigge på mit indlæg "krumning".

Du må have en god weekend!

Svar #14
11. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Ved du forrestehn, hvordan grafen for z=4-3x^2-3y^2 ser ud?

Brugbart svar (0)

Svar #15
11. november 2005 af sigmund (Slettet)

Ifølge min lineær algebra bog, er grafen for z=4-3x^2-3y^2 enten en elliptisk paraboloide eller en hyperbolsk paraboloide. Typen afhænger af koefficienterne i ligningen.

Svar #16
12. november 2005 af Sabrina (Slettet)

Tak :)

Skriv et svar til: Uni - spørgsmål

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.