Matematik

Strukturen i et bevis

03. juni 2008 af Christinana (Slettet)

Jeg sidder her og læser op til matematikeksamen.

Mange beviser er bygget op sådan at man kan omskrive løsningen til udgangspunktet. Et godt eksempel er beviset for diskriminantformlen.
I beviset laver man en masse fiddelihut (multiplicer med 4a, læg b^2 til og træk b^2 fra, faktoriser og isoler x) før man opnår det ønskede. Det er efter min mening lidt anti-intuitivt, min lærer plejer at kalde det "og så får vi en god ide..."
Mit spørgsmål er derfor:
Kan jeg vende beviset om, så jeg starter med at skrive diskriminantformlen:
x = (-b ± sqrt(b^2-4ac))/2a og derefter omskriver til jeg når ax^2+bx+c=0

Hvad er grunden til, at man ikke viser beviset på den måde? (Altså, hvad er forkert?)

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. juni 2008 af Jerslev

#0: I første omgang kender du jo ikke resultatet. Forestil dig at skulle bevise noget, du ikke kender.

Den gode idé bruges skam også andre steder. Min instruktor i lin. alg. plejer nu blot at kalde det et kvalificeret gæt. :P

- - -

mvh

Jerslev

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. juni 2008 af peter lind

Du kan godt eftervise at det er en løsning; men så kommer der den mangel, at du ikke kan vide om der findes andre løsninger.

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Det er også ret ulogisk, vil jeg give dig ret i! Du kan godt vende et bevis om, hvis der gælder <=> gennem hele beviset, hvilket der gør i det bevis, du nævner.

Men der findes også et langt mere intuitivt bevis for formlen og konklusionerne dertil. Det der med at kalde det "gode idéer" er lidt noget fis, hvis man ikke kan se idéen i idéen! Det er mere reelt at sige "erfaringen har vist, at det er smart at gøre sådan og sådan". Hvis det har interesse, kan du se det alternative og noget mere intuitive bevis, jeg har udleveret til mine elever på følgende link.

http://peecee.dk/upload/view/117220

Det tager udgangspunkt i, at ethvert 2.gradspolynomium er en flytning af et "pænt" andengradspolynomium på formen g(x)=ax^2. Spørg bare, hvis der er skridt i beviset, der er uforståelige.

Svar #4
03. juni 2008 af Christinana (Slettet)

#1 Men er det omtalte bevis ikke mere eller mindre opbygget så det passer til diskriminantformlen? Jeg har svært ved at se hvordan nogen "pludselig" fandt på at gange med 4a og så derefter lægge b^2 til og trække b^2 fra og så...
Om man har løsningen fra starten af (et meget stort kvalificeret gæt) eller finder på flere små, kvalificerede gæt henad vejen må vel være det samme :)

#2 Når man skal bevise den generelle løsning for nogle differentialligninger viser man først, at en forskrift f(x) er løsning, også bagefter at det er den eneste løsning, er det sådan noget du mener?
Men kan jeg ikke godt sætte biimplikation mellem
x = (-b ± sqrt(b^2-4ac))/2a og ax^2+bx+c=0
Jeg sætter i hvert fald biimplikationstegn når jeg beviser løsningsformlen den "rigtige vej" (dvs. starter med ax^2+bx+c=0), så det gælder vel også den anden vej?

Svar #5
03. juni 2008 af Christinana (Slettet)

#3 Jeg var vist lidt langsom der, prøver lige at kigge på dit bevis. Tak.

Men egentlig handler det ikke rigtig om 2. gradsligninger (vores lærer har ikke engang lavet et eksamensspørgsmål med dem), det handler bare om den generelle opbygning af beviset.

Brugbart svar (0)

Svar #6
03. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

#2 påpeger noget, der er centralt at overveje ved denne "omvending" men det har igen at gøre med hvorvidt der faktisk gælder <=> hele vejen - hvert skridt skal nøje overvejes...

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. juni 2008 af Jerslev

#6: Præcis. Min forelæser i lin. alg. gjorde meget ud af kun at skrive => i starten og til sidst lave tegnet om til <=> ved at gå beviset igennem bagfra.

- - -

mvh

Jerslev

Brugbart svar (0)

Svar #8
04. juni 2008 af Azured (Slettet)

Du kan også lave et rent matematisk bevis, uden "den gode idé". Det går ganske enkelt ud på at omskrive ligningen til et kvadrat af en sum.

Dette kan omskrives til kvadrat af en sum. Jeg anvender ganske enkelt "brute force" og regner til det passer. Det kræver lidt træning at se hvad det giver, men jeg vil forsøge at forklare min argumentation. Lad os prøv med

Dette giver

b^2 leddet skal væk, og det skal 2a i 2abx også, så vi prøver med

Dette giver netop b^2/4a for meget, så dette trækkes fra:

Dette passer faktisk, så vi har fundet det rigtige udtryk.
Her kan jeg så trække konstanterne over på den ene side og tage kvadratroden på begge sider:

Igen trækkes konstantleddet over.

Nu er ligningen principelt løst, men den skal selvfølgelig reduceres. Vi har anvendt at a er forskellig fra nul undervejs, da hvis a=0 er løsningen triviel.
Der reduceres:

Det er måske lidt omstændigt, men du behøver så ikke gange og dividere med en masse der ikke umiddelbart er logisk. I dette bevis har du et "mål" (at sætte ligningen på kvadrat form), at arbejde med.

Brugbart svar (0)

Svar #9
04. juni 2008 af blackduck (Slettet)

#0

Det er en udmærket pointe, at det ikke er intuitivt. Man her noget mere uformelt indset, at løsningen er som den er, og så har man siddet og funderet over hvordan man hurtigst kan bevise dette. Beviset for løsningsformlen til en 2.gradsligning er et eksempel på et bevis, der bare er "regne-regne". Det er bare "en gut" der har siddet og lejet lidt med bogstaverne indtil han fandt den hurtigste omskrivningsvej.

Der er adskillige matematiske beviser der forløber således. Det er også sådanne beviser, som jeg syntes er lidt meningsløse at skulle tvinges igennem til en matematikeksamen. Der er ikke nogen dybere ide gemt et sted, det er ren symbolmanipulation.

Men netop at du kan komme med sådanne overvejelser som du gør i dine indlæg vægtes ganske højt til eksamen. Det viser at du har en dybere forståelse af forskellige bevistyper. Jeg vil dog mene at det er ret ligegyldigt hvilken vej du fører dette bevis. Det er altså ikke et krav for at få topkarakterer, at man skal finde alternative og mere spændene bevisførelser. Du skal hellere demonstrer det overblik og sikkerhed som du netop gør ved disse overvejelser, f.eks. omkring at beviset ikke er oplagt men bare kommer efter at have prøvet sig frem og at biimplikationerne hele vejen i gennem gør at den fundne løsning er entydig.

Svar #10
04. juni 2008 af Christinana (Slettet)

Mange tak til tal-pædagog og Azured for de alternative beviser. De er en smule mere omstændige, men I har ret i at man slipper for "den gode ide." Generelt tror jeg ikke, at jeg kan komme udenom den. Har siddet og læst på beviser for differentieringsregneregler, og i dem med multiplikation og division af to funktioner ser vi jo den gode ide igen. Selvom jeg synes det giver mere mening i de to beviser, så er jeg stadigvæk ikke helt overbevist, men sådan er det jo :)

#7 Jeps, og det kan man sagtens i beviset for diskriminantformlen, selv hvis man starter med løsningen. Men jeg forstår godt din pointe. Det er ofte lidt omstændigt i andre beviser...

#9 Hehe, det lyder godt :) Det kan jeg vel sagtens plapre lidt om, men jeg tror hurtigt lærer/censor bliver træt af sådan noget metasnak, det er jo lidt AT-agtigt :)

Brugbart svar (0)

Svar #11
05. juni 2008 af tal-pædagog (Slettet)

Jeg tror også, du skal undgå at bruge for meget eksaminationstid på overvejelser om bevistyper. Men for din egen forståelses skyld, kan du jo udvælge de beviser, du synes virker mest hokuspokus-agtige og prøve at forstå ideen bag dem ved enten selv at komme på et alternativt bevis eller ved at spørge herinde...

Jo bedre, du selv forstår problemstillingen, desto mere overbevisende bliver du til eksamen - også selv om det er det anti-intuitive bevis du ender med at gennemgå derinde, da dette er tidsmæssigt langt mere effektivt. Så er du faktisk bedre rustet til at svare på spørgsmål rundt om emnet.

Forresten er mit alternative bevis unødigt langt, men det skyldes at det er forsøgt gjort pædagogisk (ved ikke om det lykkedes). Blandt andet skriver jeg næsten samtlige skridt i omskrivningen, da jeg ikke forventer at læseren tænker særlig langt selv (hvor arrogant af mig).

Brugbart svar (0)

Svar #12
05. juni 2008 af blackduck (Slettet)

#10 og #11

Jeg tror i misforstår mig lidt. Man skal selvfølgelig ikke bruge større dele af eksamen på at plapre om bevistyper eller snakke som til en AT-eksamen. Lad mig citere fra lærerplanen:

"-Kan perspektivere matematikkens udvikling
-Kan demonstrerer indsigt i karakteristiske sider af matematisk ræsonnement."

Jeg opfordrer blot til at man lige siger (10 sekunder, maks) at det her bevis er et algebraisk bevis hvor vi rykker rundt på nogle bogstaver. Det er effektivt, men skjuler også den mere intuitive geometriske mening. Man kunne så derefter gennemfører det bevis som du linker til (eller redegøre for den centrale ide), hvilket ville være smukt og fint og garanteret tælle meget positivt. Men det må ikke være et krav for at få 12, at man søger ud over undervisningen. Så må man prøve at vise forståelsen gennem det man har lært. Og det står altså direkte i bedømmelseskriterierne at de to ting jeg nævner tæller positivt. Selvfølgelig skal det være med måde og ikke fylde flere minutter, hvilket jeg heller aldrig har opfordret til. Men når spørgsmålet handler specifikt om opbygningen af bestemte beviser fokuserede jeg på dette aspekt.

Skriv et svar til: Strukturen i et bevis

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.