Georg Mohr opgaver med svar

Jeg har lavet en samling af Georg Mohr opgaver som tidligere er stillet på Studieportalen.dk med forslag til løsninger.

Opgaver.

1) I en klasse er der 20 elever. Af disse har 13 været i Spanien og 12 i Italien. 4 har ikke været nogen af stederne.
 - Hvor man elever har været begge steder?

2) Til en sammenkomst laver n personer s liter suppe hver. Suppen skal fordeles i d beholdere, der hver kan fyldes halvt.
 - Hvor man beholdere skal er mindst bruges?

3) Prisen på hver af fem produkter, der alle i 1990 kostede 125 kr., stiger eksponentielt. Produkt A fordobler sin pris på 10 år, mens B fordobler sin pris på 12 år. Produkt C's pris stiger med 20% hvert andet år, mens D's pris stiger med 10% om året. Produkt E kostede 135 kr. i 1991.
 - Hvilket produkt kostede mest i 2010?

4) En trekant med arealet 1 har hjørnerne A, B og C. Punktet D ligger midt mellem A og B. Punktet E ligger midt mellem D og C. Endelig ligger punktet F midt mellem A og E.
 - Hvad er arealet af trekant BEF?

5) Et rektangel er dobbelt så langt som det er bredt. Diagonalen er .
 - Hvad er rektanglets areal?

6) Hvilket tal er størst (uden brug af lommeregner)?...:
    A) 2³·3⁴·4³
    B) (4·3²)²·(3·4²)·2
    C) 2·3·(2/3)·3·(3⁴/2⁴)·2¹⁰
    D) 2¹⁰·3⁴
    E) (3⁴/2)·4⁵

7) Et kvadrat med diagonalen 4 er indskrevet i en cirkel som vist på figuren. 
 - Find arealet af det grå område på figuren.
  

8) Et rektangel er delt i et gråt trekantet område og et hvidt trapez-formet. Arealet af det hvide område er 5 gange så stort som det grå. 

 - Find forholdet a/b ud fra figuren.

9) Et ur har form som et rektangel som vist. Afstanden mellem kl. 12 og kl. 1 er 1 målt langs kanten af rektanglet. 
     
 - Hvad er afstanden mellem kl. 1 og kl. 2?

10) Et tal har præcis 8 divisorer, hvoraf de to er 35 og 77. 
 - Hvad er tallet?

11) Vis at n⁴ + n² + 1 ikke er et kvadrattal for noget naturligt tal n.

12) En stor cirkel med radius 3 og to mindre cirkler hver med radius 1 rører hinanden og to parallelle linjer som vist. 
   
  -  Find afstanden mellem punktene P og Q.

13) Et naturligt tal n opfylder, at der findes netop et naturligt tal k, så 54n < 55k < 56n.
   - Hvad er den størst mulige værdi af n?

14) a. Hvad er sidste ciffer i 74951³?
       b. Hvad er sidste ciffer i 9²⁰¹³?
       c. Hvilket af følgende tal ender ikke på 5?...:
            I: 5+15+25+35+45
           II: 5·15·25·35·45
          III: 19² - 16²
          IV: 20·35·9/(4·15)
           V: 25²⁵ - 25²

15) Hvad er det sidste ciffer i , som ikke er et 0?

--------------------------------------------------------------------------------

Svar på opgaver

Svar 1: Man skal bruge mængdelære. A er mængden af elever, som har været i Spanien. B er mængden af elever, som har været i Italien. Fællesmængden af A og B har 16 elementer: alle elever minus, de som ikke har været nogen af stederne. Man skal finde antal elementer i fællesmængden. Dette tal kaldes x. 
Der gælder: (antal i A) + (antal i B) - (antal i fællesmængden) = (antal i foreningsmængden) => 13 + 12 - x = 16 => x = 9. Dvs. 9 elever har været begge steder. 

Svar 2: Den samlede mængde suppe er n·s. Hver beholder indeholder 0,5·d. Antal beholdere: n·s/(0,5·d) = 2·n·s/d

Svar 3: Man beregner vækstraten for prisen af hvert produkt. Vækstraten for 
A er  = 0,07
B er  = 0,06
C er  = 0,095
D er 0,1
E er (135-125)/125 = 0,08
Dvs. D har den højeste vækstrate og dermed gælder, at D har den højeste pris i 2010

Svar 4: Medianen til en trekant deler trekanten i to trekanter med samme areal. Det kan bruges til at vise, at trekant BEF har arealet 1/4. 

Svar 5: Kald bredden x. Rektanglets areal er 2x². Der gælder i følge Pythagora læresætning: x² + (2x)² = 45 => x² = 9. Dvs arealet er 2·9 = 18

Svar 6: Divider A op i de andre:
A/A = 1
B/A = 3
C/A = 1/2
D/A = 2
E/A = 1
Dette viser, at B er størst

Svar 7: Diameteren i cirklen er 4, dvs. dens areal er r²·π = (4/2)²·π = 4π. Kvadratets side er = (diagonalen/) = 4/. Dvs. at kvadratets areal er (4/)² = 8. Det grå område er en fjerdedel af cirklens areal minus kvadratets areal = (1/4)·(4π - 8) = π - 2.

Svar 8: Kald længden af rektanglen L. Den grå trekant har arealet 0.5·a·L. Den hvide trapez har arealet 0,5·((a+b)+b)·L = 0,5·(a+2b)·L. Der gælder, at: 0,5·(a+2b)·L = 5·[0.5·a·L] => 0,5·a + b = 2.5·a => b = 2a =>
a/b = 1/2  

Svar 9: Man forbinder midten af uret med tallene 12, 1, 2 og 3. Der er 30 grader mellem hver linje. Man ved at tan(30°) = 1/√(3). Dette giver følgende mål:

Det fremgår, at afstanden mellem 1 og 2 er  - 1/ = 2/.

Svar 10: Lad n være 1, 2, 3...osv. Tallet, som man søger, kan skrives som n gange laveste fælles fold for 35 og 77, dvs. n gange det mindste tal, som både 35 og 77 går op i. Dette tal er (35·77)/7 = 385, dvs. produktet af 35 og 77 divideret med de to tals største fælles divisor, som er 7. Man undersøger, hvor mange divisorer n·385 har. For n = 1 får man divisorerne: 1, 5, 7, 11, 35, 55, 77 og 385. Da dette antal er 8, er man færdig og svaret er 385. (Ethvert n større end 1 vil give et højere antal divisorer.)

Svar 11: n⁴+n²+1 = (n²)²+(n)²+1. Kald n² for m. Man skal vise, at m²+m+1ikke er et kvadrattal for noget naturligt tal m. For et givet m har man, at: m² < m²+m+1 < (m+1)², dvs. uanset, hvad m er, vil m²+m+1altid ligge mellem to kvadrat tal og dermed kan m²+m+1 og heller ikke n⁴+n²+1 være et kvadrattal.

Svar 12: Af nedenstående figur fremgår det, at afstanden mellem P og S kan findes, som hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor kateterne er 3 og . 
      
Dette giver: |PS| = √(12+9) = . Dermed er den søgte afstand mellem P og Q = .

Svar 13: den største værdi er n = 55, hvis n bliver større bliver afstande mellem 54n og 56n større end 2·55 og der er derfor mere end en mulighed for k.

Svar 14: a: det sidste ciffer er 1. Når to tal, hvis sidste ciffer er 1 ganges med hinanden vil produktet også have 1 som sidste ciffer.
b: 9ⁿ vil ende på 9, når n er ulige og 1, når n er lige. Da n = 2013 er ulige vil tallet ende på 9.
c: Mulighed V ender på 0, da 25ⁿ ender på 5 uanset n. Da man trækker to tal, der begge ender på 5 fra hinanden, vil differencen ende på 0.  

Svar 15:  = 2¹⁰⁰⁰·1000¹⁰⁰⁰. Det sidste ciffer, der ikke ender på 0, er det samme som det sidste ciffer i 2¹⁰⁰⁰. 2ⁿ = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256... dvs. tallene 2, 4, 8, 6 gentages hele tiden. Der gælder derfor for sidste ciffer i 2ⁿ :
Sidste ciffer er 2, hvis n mod 4 = 1
Sidste ciffer er 4, hvis n mod 4 = 2
Sidste ciffer er 8, hvis n mod 4 = 3
Sidste ciffer er 6, hvis n mod 4 = 0
Da n=1000 og 1000 mod 4 = 0, ender 2¹⁰⁰⁰ på 6. Dvs. det sidste ciffer i det oprindelige tal, der er forskelligt fra 0 er 6.